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结构的动力计算
第一页，共61页。
15. 1 动力计算概要
15. 2 动力体系运动方程的建立
15. 3 单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展
15. 4 单自由度体系的受迫振动
15. 5 建立
15. 2. 2 单自由度体系运动方程建立举例
例题 8-1 试用刚度法建立刚架受动荷载作用的运动方程。质量m集中于刚性横梁，柱为无重弹性杆，不计轴向变形。
解：（1）确定自由度
单自由度体系。
（2）确定位移参数 设刚梁在任一时刻的水平位移为y，向右为正。
（3）确定隔离体受力
（4）按动静法列动平衡方程，可得
楼层的侧移刚度
它是楼层间产生单位相对侧移时所需施加的力，是各柱子侧移刚度的和。
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15. 2　动力体系运动方程的建立
例题 15 -2 试用柔度法建立简支梁受均布动荷载作用的运动方程。质量m集中梁中点，梁为无重弹性杆，不计轴向变形。
解：（1）单自由度体系。
（2）设质量m的位移为y（向下为正）。
（3）加惯性力和阻尼力，确定受力图
（4）列位移方程
称为等效动荷载或等效干扰力，等效含义为： 直接作用于质量上所产生的位移和实际动荷载引起的位移相等。
若计入质量的重力，运动方程是否有变化？
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15. 2　动力体系运动方程的建立
例题 15-3 试建立图8-9(a)所示刚架的运动方程。
解：（1）确定自由度
单自由度体系。
（2）确定位移参数 设刚梁在任一时刻的水平位移为y，向右为正。
（3）确定隔离体受力
根据位移法，动荷载作用下质量处沿自由度方向所附加支杆的反力就是。由此可得 。
（4）列方程 结构的运动方程如下
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15. 2　动力体系运动方程的建立
小 结：
(1)任意一个单自由度体系的振动问题，本质上都可抽象转换成一个图示的质量、弹簧、阻尼器体系。从实际结构到抽象模型的关键是确定m和计算k（或δ）。
当动荷载不作用于质量自由度方向时，只要以FE(t)代替FP(t )，则运动方程形式完全一致。
(2)任何单自由度体系的运动方程，均可表为
二阶非齐次常微分方程形式。 其中FE(t)是动荷载引起的作用于质量m上的等效干扰力，FD为体系的阻尼力、FS为体系变形所引起的恢复力。上式也适用于其他阻尼和非线弹性体系。
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15. 2　动力体系运动方程的建立
(3)当体系处于线弹性、阻尼为等效粘滞阻尼时，运动方程是二阶非齐次常系数线性微分方程： 。其中，c为体系的阻尼系数，k为体系的刚度系数，此时体系称为线性体系（linear system）。
(4)等效干扰力 ，它和动荷载作用下附加约束（为消除质量沿自由度方向运动而附加）上产生的支座反力大小相等、方向相反。
(5)对于具体的单自由度结构，原则上用刚度法或柔度法都可以建立运动方程。但是，计算工作量有差异，要视具体情况，灵活应用。
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15. 2　动力体系运动方程的建立
15. 2. 3 两个自由度体系运动方程建立举例
例题 8-4 试用刚度法建立图8-11（其中图8-11a为结构图，图8-11b为动力分析计算简图，k1、k2为楼层侧移刚度）所示刚架的运动方程。不考虑阻尼。
解： 由于不计柱子的轴向变形，且横梁的刚度EI1=∞，因此体系只能产生楼层侧移，故自由度为2。结构各层的层间侧移刚度k1和k2分别为：
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15. 2　动力体系运动方程的建立
设任意时刻质量m1的位移为y1，m2的位移为y2，
分别取m1、m2为隔离体，分析其受力
动平衡方程
刚度系数或反力系数
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15. 2　动力体系运动方程的建立
质量矩阵M 为一对角矩阵，而刚度矩阵K 为一对称矩阵。这一结论对任何一个集中质量的多自由度线性体系均成立。
刚度系数 kij 的物理意义为“仅当质量沿第j个自由度方向产生单位位移时，在第i个自由度方向所需施加的约束力”。
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15. 2　动力体系运动方程的建立
例题 15-5 用柔度法重新建立图8-11(a) 所示刚架考虑等效粘滞阻尼时的运动方程。
解：
图示“结构”在单位广义力作用下所引起的位移系数分别为
任一时刻质量m1和m2的位移为
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15. 2　动力体系运动方程的建立
惯