中国海洋大学《理论力学》分类02变质量问题.doc

变质量物体的运动
物理实质:动量定理的应用
公式推导:
t时刻:主体量m以运动;微小质量以运动。
时刻:m与合并,并以运动,且m与所受的作用力为。
应用动量定理:

先消掉项并忽略二次小量项,有
两边都除以并对极限值:
即:
左边第一项和第二项可以写为,所以有
左边第二项和第三项可以写为:
所以有:
基本公式: ①适用于已知质量元的绝对速度的情况。
②适用于已知相对本体质量速度的情况。
关键:
①公式是矢量公式,应投影使用并注意正负。
②正确表达本体质量和质量元。
③分析受力和速度关系。
难点:复杂变量表达式的积分(常需要配成全微分的形式)
技巧:不要急于将对于t的微分计算出来
例1(P25):一个火箭以匀加速沿水平方向飞行。已知火箭的初始质量为,燃气喷射速度相对于火箭为,是一个常数,不计空气阻力。求火箭质量的变化规律。
解:选前进方向为正方向,水平方向不受力。
同样条件下作竖直飞行,则:
由以上结果可以看出竖直飞行比水平飞行质量减少的质量更快。克服重力做功耗能。
例2(P138,雨点问题)
解:水气凝结前速度为0,即;
t时刻的质量: m=M+λt
;
积分;由t=0时v=0
积分: (补公式除法)

例3:沙子从固定漏斗中垂直落入水平运动的货车的车厢里,已知每秒落入车厢的沙子的质量为定值,请问需要给货车加多大的外力,才能使它速度v的匀速运动?
解:将车厢看成本体F,落入的沙子看成质量元,则由题意知:
质量元有,且水平无初速,
本体速度不变
在水平方向使用变质量物体运动基本方程
有:
又
需给货车加大小为的外力。
例4(05研):
例:炮车携带着个炮弹停在水平直线铁轨上。已知炮车自身质量为,每个炮弹的质量为,炮车只能沿铁轨方向发射炮弹(水平发射),且可以不计轨道摩擦阻力。请考虑:
将个炮弹以相对于车的速度一次性发射出去后,炮车获得的反冲速度是多少?
若逐一发射这个炮弹,且每个都以相对于车的速度发射,炮车又将获得怎样的反冲速度,请写出发射完任意数目()个后反冲速度的普遍表达式。
比较两种情况下,炮车最终获得的反冲速度大小。
解:
由题意知,水平方向动量守恒,所以有:,又考虑到速度关系,可得:。
当发射出去n个炮弹时,根据水平方向动量守恒知:,又存在速度关系:,所以有:,此即所求一般表达式。
全部发射出去,即n=N,将其代入一般表达式得一N项之和,由于每一项的分母都,所以第二种情况下炮车的反冲大。负号表示和炮弹前进方向相反。
例5:一货车连同所运的货物的初始质量为,在雨中沿光滑的轨道按惯行驶,初速为,已知单位时间竖直落入车中的雨水质量为常数ɑ。
(1)货车速度随时间的变化规律。
(2)若同时单位时间内由车底排水质量为常数β,货车速度的变化规律又将怎样?
解:设任意时刻t货车的速度为v,则流入的和流出的水的相对于车的速度分别为; ,所以
(1)水平方向应用;
有:
得:
(2)在水平方向应用:,有
积分得:
例6(07研):
已知一个火箭发射前总质量为,所携带的燃料质量占了总质量的90%,若单位时间(秒)燃料的消耗是,燃料相对于火箭的喷射速度是。请给出:(1)要使火箭竖直向上发射,已知量间应满足的条件。(2)若,,,,分