相对效率问题.docx

甲乙两个工程队，共同完成A、B两个项目，已知甲队完成A项目和B项
目时的效率分别是%和J，乙队完成A项目和8项目时的效率分别是%和J， 1 1 2 2
两队合作完成这两个项目，如何安排花费时间最短？
解析：
设甲乙合作总时间为，，安
y
1
4 x A B A + 1 B +
》］=x1 y1
X1+ X2 — 1+ C
x
1
t =
1 其中
等价于甲做B,乙做A,甲做完B以后，与乙一起做A
(二)如果 A < B，
x2 y1
B + A%
x
显然t可以取到的最小值为0，此时r = J，对应甲不做A，只做B，
1 y1 + y_
A
即A全部由乙做，乙做完A需要用时七=—,
2
(B
这段时间内甲做B的工作量是
A —y 尤1 2
A
b剩余的工作量是B-一七=y
2
I ^1
间为:
)
，接下来需要甲乙合作的时
X2 J
k * X2 J
y1 + y
B A)
所以总时间是
I y1 X2 J
y1 + y2
A
+ 一 =
X
2
B + A% B +
x _y X
y1 + °
y
2
等价于甲做B，
乙做A,乙做完A以后，
与甲一起做B。
在* < %的情况下，显然t越大，
X X
t越小
B + A 2^2 +1 x
X2 「
y1 + y2
B + A*2
根据t1 V—— y2 +
B A
——+——
X
y
X
=
—2—
X
1+
X
1 y
1
X2
X
2
2
2可知，\可取到的
BA
+
最大值是： 汗，
1 + X1
X
2
BA
一 + 一
y X
此时对应t = t1 = 2 x 2 ,
1 + 1
X
2
注意，由于七N 0，结合tXy +七气=A可知还有一个等式需要满足：即Xt V A，即
乙 JL JL 乙 乙 JL JL
B A
4 + 入 b
容易知道一与 一比较大小，等价于一与—— 比较大小。
气1+二 气七
尤
2
（一）
如果A >B
x
i
BA + 那么' > 七 j
X1 1 + X1
X
2
+
尤
时
1+土
尤
2
满足 Y < A，此时对应t =匕，即甲不做B,
B
即B全部由乙做，乙完成B需要时间——
y
2
这段时间内甲做A的工作量是Bx，A剩余的 y 1
2
同B
工作量是A ———X
y 1
2
(A B )
=x1[ X 一 F J
12
（^B
J
，接下来需要甲乙合作的时间为——1——」
X + X
(^B ) B「[ X - F J 以总共用时——+ 1——」
y x + x
x .
B 2 + A
y
= 2 =
x + x
BA
+
yx
-^2 2
1 x
1 + 1
x
2