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傅里叶变换、离散余弦变换与小波变换
二维离散傅里叶、余弦、小波变换专业班级: 10 信息安全学生姓名: 学生学号: 指导教师: 完成时间:
数字图像处理
实验三:二维离散傅里叶、余弦、小波变换
一、实验目的
1. 了解图像正变换和逆变换的原理。
2. 了解图像变换系数的特点。
3. 掌握常用图像变换的实现过程。
4. 掌握图像的频谱分析方法。
5. 了解图像
二、实验主要仪器设备
1. 微型计算机:Intel Pentium及更高。
2. MATLAB软件。
三、实验原理
二维离散傅里叶变换、余弦变换、小波变换的正逆变换公式,MATLAB中的上述变换的实现函数以及讨论正交变换的应用。
1. 二维离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)
对于二维傅立叶变换,其离散形式如式(1)所示;逆变换公式如式(2)所示:
1M?1N?1
F(u,v)?(1) f(x,y)e?j2?(ux/M?vy/N) ??MNx?0y?0
f(x,y)???F(u,v)ej2?(ux/M?vy/N) (2)
u?0v?0M?1N?1
频谱公式如式(3)所示:
F(u,v)?|F(u,v)|ej?(u,v)?R(u,v)?jI(u,v) (3) 22|F(u,v)|?R(u,v)?I(u,v)
由可傅立叶变换的分离性可知,一个二维傅立叶变换可分解为两步进行, 其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x, y)按列进行傅立叶变换得到F(x, v),再对F(x, v)按行进行傅立叶变换,便可得到f(x, y)的傅立叶变换结果。显然对f(x, y)先按行进行离散傅立叶变换, 再按列进行离散傅立叶变换也是可行的,这里不再一一赘述。
此外,在实际工程应用中分析幅度谱较多****惯上也常把幅度谱称为频谱。使用DFT变换进行图像处理时,有如下特点:
1M?1N?1
(1)频谱的直流成分为F(0,0)?2??f(x,y),说明在频谱原点的傅里Nx?0y?0
1
叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级。
(2)幅度谱|F(u,v)|关于原点对称,即F(u,v)?F(?u,?v)。
(3)图像f(x,y)平移后,幅度谱不发生变化,仅有相位发生变化。
DFT是一种基本和重要的正交变换。为了提高计算效率,应用时往往采用二维FFT实现。而一般的正交变换图像经过对数变换后便于观察。
MATLAB采用fft2和ifft2分别进行二维DFT变换和二维DFT逆变换,采用fftshift将直流分量移到频谱图的中心以便观察。
2. 二维离散余弦变换(Discrete Cosine Transform,DCT)
对于二维余弦变换,其离散形式如式(4)所示,逆变换如式(5)所示:
2M?1N?11???1??? F(u,v)?C(u)C(v) f(x,y)cou(x?)cov(y?)? (4)???MN??MNMNx?0y?022????
?1?1,u?0,v?0?? 式中,C(u)??2 C(v)??2?1,1?u?M?1?1,1?v?N?1??
2M?1N?11???1??? f(x,y)? C(u)C(v)F(u,v)cou(x?)cov(y?)? (5)?????MNu?0v?02??N2??M
在MATLAB中,采用dct2和idct2分别进行二维DCT变换和二维DCT逆变换。
二维DCT常用于信号和图像处理,典型应用是对静止图像和运动图像进行性能优良的有损数据压缩。在静止图像编码标准JPEG、运动图像编码标准MJPEG和MPEG等标准中都使用了8*8块的离散余弦变换,并将结果进行量化之后进行熵编码。DCT具有很强的能量集中在频谱的低频部分的特性,而且当信号具有接近马尔科夫过程(Markov processes)的统计特性时,DCT的去相关性接近于具有最优去相关性的K-L变换(Karhunen-Loeve变换)的性能。
另外,改进的离散余弦变换(Modified Discrete Cosine Transform,MDCT)对交叠的数据进行DCT,有助于避免由于区块边界所产生的多余数据,被用在高级音频编码(Advanced Audio Coding,AAC)、Ogg Vorbis
、AC—3和MP3音频压缩中。
3. 二维离散小波变换(D Discrete Space Wavelet Transform,DDSWT)
对于二维小波变换,其离散形式如式(6)所示;逆变换如式(7)所示:
1x?by?bWf(a,bx,by)??f,?a,bxby(x,y)???R2f(x,y)?*(,)