傅里叶变换、离散余弦变换与小波变换.doc

专业班级: 10 信息安全
学生姓名: 王猛涛
学生学号: _ 20101616310049 _
指导教师: 姚孝明
完成时间:2017年12月2日
二维离散傅里叶、余弦、小波变换

数字图像处理
实验三:二维离散傅里叶、余弦、小波变换
实验目的
了解图像正变换和逆变换的原理。
了解图像变换系数的特点。
掌握常用图像变换的实现过程。
掌握图像的频谱分析方法。
了解图像变换在图像数据压缩等方面的应用。
实验主要仪器设备
微型计算机:Intel Pentium及更高。
MATLAB软件。
实验原理
二维离散傅里叶变换、余弦变换、小波变换的正逆变换公式,MATLAB中的上述变换的实现函数以及讨论正交变换的应用。
1. 二维离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)
对于二维傅立叶变换,其离散形式如式(1)所示;逆变换公式如式(2)所示:
(1)
(2)
频谱公式如式(3)所示:
(3)
由可傅立叶变换的分离性可知,一个二维傅立叶变换可分解为两步进行, 其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x, y)按列进行傅立叶变换得到F(x, v),再对F(x, v)按行进行傅立叶变换,便可得到f(x, y)的傅立叶变换结果。显然对f(x, y)先按行进行离散傅立叶变换, 再按列进行离散傅立叶变换也是可行的,这里不再一一赘述。
此外,在实际工程应用中分析幅度谱较多****惯上也常把幅度谱称为频谱。使用DFT变换进行图像处理时,有如下特点:
(1)频谱的直流成分为,说明在频谱原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级。
(2)幅度谱关于原点对称,即。
(3)图像平移后,幅度谱不发生变化,仅有相位发生变化。
DFT是一种基本和重要的正交变换。为了提高计算效率,应用时往往采用二维FFT实现。而一般的正交变换图像经过对数变换后便于观察。MATLAB采用fft2和ifft2分别进行二维DFT变换和二维DFT逆变换,采用fftshift将直流分量移到频谱图的中心以便观察。
2. 二维离散余弦变换(Discrete Cosine Transform,DCT)
对于二维余弦变换,其离散形式如式(4)所示,逆变换如式(5)所示:
(4)
式中,
(5)
在MATLAB中,采用dct2和idct2分别进行二维DCT变换和二维DCT逆变换。
二维DCT常用于信号和图像处理,典型应用是对静止图像和运动图像进行性能优良的有损数据压缩。在静止图像编码标准JPEG、运动图像编码标准MJPEG和MPEG等标准中都使用了8*8块的离散余弦变换,并将结果进行量化之后进行熵编码。DCT具有很强的能量集中在频谱的低频部分的特性,而且当信号具有接近马尔科夫过程(Markov processes)的统计特性时,DCT的去相关性接近于具有最优去相关性的K-L变换(Karhunen-Loeve变换)的性能。
另外,改进的离散余弦变换(Modified Discrete Cosine Transform,MDCT)对交叠的数据进行DCT,有助于避免由于区块边界所产生的多余数据,被用在高级音频编码(Advanced Audio Coding,AAC)、Ogg Vorbis、AC—3