高等代数2011试题.doc

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密封线内不要写题
二O 一一年招收硕士研究生入学考试试题
考试科目及代码: 高等代数
适用专业: 应用数学概率论与数理统计
答题内容写在答题纸上,写在试卷或草稿纸上一律无效考完后试题随答题纸交回。
考试时间3小时,总分值 150 分。
注意:以下试题中: 表示的伴随矩阵,表示的转置,表示的对角元素的和,表示的秩。
一、填空(共5小题30分)
,已知齐次线性方程组有非零解,
则: 。
,
,
,
则。
个维向量必定。
4.,则的正交补。
,在两个基下的坐标分别为列矩阵、,则之间的关系为。
二、单项选择题(共5小题30分)
,则的伴随阵不可能为
A) ; B) ;
C) ; D) 。
2.,,,。已知线性方程组
无解,则
A) 线性无关; B)线性无关;
C) 秩(); D)秩() 。
,则存在一个基使得在此基下的矩阵为对角形的必要条件是。
A) 有个线性无关的特征向量;
B) 有个互不相同的特征值;
C) 的特征值全部非0 ;
D) 的特征值至少有一个0。
4.、为阶对称阵,下述命题正确的是
A)若、都正定,则正定;
B)若、都可逆,则可逆;
C)若、都为正交阵,则为正交阵;
D)若、行列式都不为0,则。
,为其特征值,则以下矩阵中为半正定阵的是。
A); B);
C); D)。
三、(10分)
计算行列式。
四、(10分)
给定欧氏空间中的向量,,,
求使得。
五、(15分)
对任何,令
,
,
。。
六、(15分)
判定二次型是否正定
七、(40分)
1. 已知线性相关,而其中的任意个向量都线性无关。
求证:若数,满足:,
,则与线性相关。
,证明无解,这里为三阶未知复方阵
:可被向量组B:线性表出,且它们有相同的秩,求证:向量组A与向量组B等价。
:正交的正定阵必为单位阵。