如图1,游乐列车由许多节车厢组成。列车全长L,圆形轨道半.doc

如图1,游乐列车由许多节车厢组成。列车全长L,圆形轨道半径为R(R远大于一节车厢的高度h和长度l,但L > 2πR)。试问:列车在水平轨道上应具有多大初速度,才能防止列车开上圆轨道时车厢不脱离轨道?(假定轨道光滑)
分析:
    列车开上圆轨道上时速度开始减慢,当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时,列车速度达到最小值v,此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道。一节车厢(m = M*l/L)在圆轨道上最危险的位置当然在圆的最高点(如图2),临界情况下最高点的车厢对轨道压力恰为零,此时车厢的向心力应是2T*sin(θ/2)+mg = m*v^2/R
    如图3所示,T为圆轨道上挤满车厢后最高点相邻两节车厢之间的拉力。由于圆轨道上挤满车厢后,圆轨道上所有车厢都作匀速圆周运动——此后的一段时间内,车厢的动能保持不变,所以向左的拉力T做的功应等于最高点右侧所有车厢重力势能的增加,由此可得拉力T,从而求出列车的初速度。
    解:
    1)设最高点车厢拉着右半圆上的车厢移动了Δx,使车厢整体重力势能增加了Δm*g*2R,Δm是长Δx的车厢对应的质量,Δm = (M/L)*Δx,车厢间的T做功使车厢重力势能增加,故拉力功W = T*Δx = Δm*g*2R = (M/L)*Δx*g*2R,得:T = 2MgR/L
    2)设每节车厢质量为m,长为l,则m = (l/L)*M  当最高点车厢对轨道压力为零时,2T*sin(θ/2)+mg = m*v^2/R,由于l << R,所以sin(θ/2) = θ/2 = l/2R,于是得车厢在最高点的速度:v =