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抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
专题一抽象函数奇偶性的判断及应用
研究一:抽象函数的单一性和奇偶性问题
抽象函数的详细模型
f(xy)f(x)f(y)f(xy)f(x)f(y)
f(xy)f(x)f(y)f(xy)f(x)f(y)
种类一:抽象函数证明函数的奇偶性问题
①xR,f(x)知足f(xy)f(x)f(y),怎样证明f(x)为奇函数?
②xR,f(x)知足f(xy)f(x)f(y),怎样证明f(x)为偶函数?
种类二:抽象函数证明函数的单一性问题
①若xR,且f(xy)f(x)f(y)、f(xy)f(x)f(y)证明其单一性

A.
增函数且最小值为
5
B.
增函数且最大值为
5
C.
减函数且最小值为
5
D.
减函数且最大值为
5
剖析:画出知足题意的表示图,易知选
B。

(x)在(0,
)上是减函数,问f(x)在(
,0)上是增函数仍是减函数,
并证
明你的结论。
剖析:以下图,易知
f
(x)在(
,0)上是增函数,证明以下:
任取x1x2
0
x1
x2
0
y
由于f
(x)在(0,
)上是减函数,所以f(
x1)
f(
x2)。
x
O
又f(x)是偶函数,所以
f(x1)
f(x1),f(
x2)
f(x2),
进而f(x1)
f(x2),故f(x)在(
,0)上是增函数。

依据已知条件,经过适合的赋值代换,追求
f(x)与f(x)的关系。

f(x)(f(x)0)
与y
f(x)的图象对于原点对称,判断:函数
yf(x)是什么函数。
②若xR,f(xy)
f(x)f(y)、f(xy)
f(x)f(y)证明其单一性
解:设
y
f(x)图象上随意一点为
(
x0
,y
)y
f(x)与y
f(x)的图象对于原点对
0
P
研究二:函数性质(单一性、奇偶性)定义经典试题
称,
P(x0,y0)对于原点的对称点
(
x0,
y0)在y
f(x)的图象上,
一、判断单一性和奇偶性
y
y0
f(x0)

5
y0
f(
x0)
依据函数的奇偶性、单一性等相关性质,画出函数的表示图,
以形助数,
O
-7-33
7x
问题快速获解。
f(x0)
f(
x0)f(x0)
-5
又y0
(x)在区间[3,7]上是增函数且有最小值为
5,那么
即对于函数定义域上的随意
x都有f(
x)
f(x),所以y
f(x)是偶函数。
f(x)在区间[7,3]上是
二、证明单一性和奇偶性
抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定

减性,去掉“f”符号,转变为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。

f(x)对全部x,y,知足f(0)
0,f(xy)
f(x)f(y),且当x
0时,
抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
f(x)1,求证:()
x
0
时,0
f(x)
1;(2)f(x)在R上为减函数。
1
证明:
对全部x,y
R有f(x
y)
f(x)
f(y)。
且f(0)
0,令x
y
0,得f(0)
1,
现设x
0,则x
0,f(x)
1,而f(0)
f(x)f(x)1
1
1
0
f(x)1,
f(x)
f(x)

(x)
是定义在(1,1)上的偶函数,且在(0,1)上为增函数,知足
f(a
2)
f(4
a2)0,试确立a的取值范围。
解:
f(x)是偶函数,且在(
0,1)上是增函数,
f(x)在(
1,0)上是减函数,
1
a
2
1
3
a
5。
由
1
4
a2
得
1
(1)当a
2时,
f(a
2)
f(4
a2)f(0)
,不等式不建立。
抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
设x
,x
R且x
x
0f(x2
,
2)当
3
a2时,
2
1
,则
1
2
x1)1
a2)
f(x2)
f[(x2
x1)
x1]
f(a
2)
f(4
f(x2x1)f(x1)
f(x1)
1
a20
f(x1)
f(x2),
即f(x)为减函数。
f(a2
4)
1a2
40
a
2
a2
4

解之得,
3
a
2
(x)的定义域为R,且对随意实数
x,y知足f(xy)
f(x)f(y),求证:f(x)是
偶函数。
(3)当
2
a
5
时,
f(a
2)f(4a2)
剖析:在f(xy)
f(x)
f(y)中,令x
y1
,
0
a
21
得f(1)
f(1)
f(1)
f(1)
0
f(a2
4)
0
a2
4
1
a
2
a2
4
令xy
1,得f(1)
f(
1)
f(1)
f(
1)
0
解之得,2
a
5
于是f(
x)f(
1
x)
f(
1)
f(x)
f(x)
故f(x)是偶函数。
综上所述,所求
a的取值范围是(
3,2)
(2,5)。
三、求参数范围
四、不等式
这种参数隐含在抽象函数给出的运算式中,重点是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增

这种不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值,
再经过函数的单一性去
抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
掉函数符号“
f”,转变为代数不等式求解。
例9,已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,x0时,f(x)是增函数,若x1
0,x2
0,

f(x)对随意x,yR有f(x)
f(y)2f(xy),当x
0时,f(x)
2,
且|x1||x2|,则f(x1),f(x2)的大小关系是_______。
抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
f(3)5,求不等式
f(a2
2a
2)3的解集。
解:设x1、x2
R且x1
x2
则x2x10
f(x2x1)2,
即f(x2
x1)
20,
f(x2)
f[(x2x1)
x1]
f(x2
x1)
f(x1)2
f(x1)
f(x2)f(x1)
故f(x)为增函数,
又f(3)
f(2
1)
f(2)
f(1)2
3f(1)
4
5
f(1)
3
f(a2
2a
2)
3
f(1),
即a2
2
a
2
1
1
a
3
所以不等式f(a
2
a
)
3的解集为
a|1
a
3。
2
2
议论不等式的解
求解这种问题利用函数的单一性进行转变,脱去函数符号。
例8,.已知f(x)是定义在
1,1上的奇函数,若a,b
1,1,且ab0时,恒有
f(a)
f(b)
0.(1)判断
f(x)在
1,1上是增函数仍是减函数,并证明你的结论;
a
b
(2)解不等式
(5
1)
(6
2
)
fx
f
x
五、比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转变到函数的单一区间内,而后利用其单一性使问题获解。

剖析:x10,x20且|x1||x2|,0x1x2x2x10
又x0时,f(x)是增函数,
f(
x2)
f(x1)
f(x)是偶函数
f(
x1)
f(x1)
故f(
x1)
f(
x2)(x),给出三个命题:
(1)若f(-2)
f(2)
,则f(x)是偶函数;(2)若f(-2)
f(2),则f(x)不是偶函数;
(3)若f(-2)
f(2)
,则f(x)
________________
,说法正确的选项是
____________
(1)若定义在R上的函数
f(x)知足f(2)
f(1)
,则函数f(x)是R上的单一增函数;
(2)若定义在R上的函数
f(x)知足f(2)
f(1)
,则函数f(x)不是R上的单一减函数;
(3)若定义在R上的函数
f(x)在区间
,0上是单一增函数,在区间
0,上也是单
调增函数,则函数f(x)是R上的单一增函数;
(4)若定义在R上的函数f(x)在区间,0上是单一增函数,在区间0,上也是单
调增函数,则函数f(x)是R上的单一增函数;
变式:若定义在R上的函数对随意的x1,x2
R都有f(x1
x2)
f(x1)f(x2)2建立,且
当x
0时,f(x)
2.(1)求证:f(x)
2是奇函数;(2)求证:f(x)是R上的增函数;
函数y
f(x),知足
x1,x2R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x
2)-3,
(1)判断函数f(x)-3的奇偶
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性并予以证明
⑵若f(x)
最大值为M,最小值为m,求M+m
剖析;适合赋值,用定义可证奇偶性,应用奇偶性可求
M+m
分析;令x1
x2
0,则f(0+0)=f(0)+f(0)-3
得f
0
3,令x1
x,x2
x则f(x-x)=f(x)+f(-x)-3
得f(x)+f(-x)=6,令gx
f
x
3则g
x
f
x3
3fx
gx所以f(x)-3为奇
函数。⑵gxmaxM
3
,gxmin
m3,
gx
为奇函数图像关于原点对称
M3gx0,m3
gx0所以Mm6
评论:奇偶性定义是判断抽象函数
奇偶性的重要方法,适合赋值找出
f(x)+f(-x)=6是重点
2
,函数y
f(x)
,知足
a,b
R,f(ab)
af(b)
bf(a),
(
1
f(0),f(1)
的值,⑵判断并证
)求
f(x)的奇偶性
分析;令a
b
0,则
f0
0,令a
b
1则f1
0⑵f1
f
1
1
=
1f1
1f1
2f1
得
f10
再
令
a
1,b
x
fx
1
fx
x
f
1
f
x
,所以f(x)
为奇函数
评论:要判断f(x)的奇偶性必先求出
f
1
,而把1写成
1
1是重点
3,
定义在
R
上的函数y
f(x)满足f(2
x)
f(2
x),
且在0,7
上只有
f(1)
f(3)
0,判断f(x)的奇偶性并说明原因
解
析
;
f(x)
在
0,7
上
只
有
f(1)
f(3)
0令
x
3则
f
1
f
23
f
23
f
5
0所以f
1
f
1
,f
1
f
1所以f(x)
既不是奇
函数也不是偶函数。
评论:判断一个命题不建立,只要举出反例即可。
4,
已知定义在R上的函数y
f(x)知足条件fx
3
fx,且函数y
fx
3
是奇
2
4

函数,判断y
f(x)的奇偶性并说明原因
解析;因为
y
fx
3
x
3
fx
3
,用x
替代x
3
4是奇函数,所以f
4
4
4得
f
x
3
f
x又f
x
3
f
x
f
x
3
f
x
3
f
x
fx
所以f(x)
2
2
2
2
为偶函数
5,
定义在R上的函数y
f(x)知足:f
1
14,4fx
f
y
f
x
y
fx
y
x,y
R
判断y
f(x)的奇偶性并说明原因
解析;令x
0得4f0fy
fy
f
y
,只需求出f0
,故再令y0,x
1得
4f
1f
0
f1
f1
f
0
21,所以2f
y
f
y
f
y
f
y
fy
所以f(x)
为偶函数
6,已知偶函数
f(x)在区间0,
上单一递加求知足
f2
x
f
x的x取值范围
解析;由偶函数性质得
f
|2x|
f|x|
,又f(x)
在区间
0,
上单调递增
2xx
2x2
x2
0222x0解得x1
评论:运用偶函数性质f
x
f
x
fx可把变量转变为同一
单一区间再利用单一性求解,
此题若分类议论,则要分四种状况繁琐,显示了运用性质的重要性。
7,函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,g(
1)0,且f(x)g(x)在
,0
上单一递加,解不等式
f(x)g(x)
0
分析;令Fx
f(x)g(x),Fx
f(-x)
g(-x)=-Fx所以F
x为奇函数,又
F1
f(-1)
g(-1)=0,F1
0,Fx在
,0上单一递加,由奇函数在其对称区间上单一性同样得
Fx
在0,
上单一递加作出F
x的简图





所以f(x)g(x)
0即Fx0
的解是
1,0
1,










抽象函数奇偶性的判定
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抽象函数奇偶性的判定

内容总结
抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定

内容总结
抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
抽象函数奇偶性的判定
(1)种类二:抽象函数证明函数的单一性问题
①若xR,且f(xy)f(x)f(y)、f(xy)f(x)f(y)证明其单一性

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