抽象函数奇偶性的判定.doc

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专题一抽象函数奇偶性的判定及应用
探究一：抽象函数的单调性和奇偶性问题
抽象函数的具体模型


类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题
① ，满足，如何证明为奇函数？
② ，满足，如何证明为偶函数？
类型二：抽象函数证明函数的单调性问题
假设且、证明其单调性
假设、证明其单调性
探究二：函数性质〔单调性、奇偶性〕定义经典试题
一、判断单调性和奇偶性
1. 判断单调性
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1．如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
分析：画出满足题意的示意图，易知选B。
例2．偶函数在上是减函数，问在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如下图，易知在上是增函数，证明如下：
任取
因为在上是减函数，所以。
又是偶函数，所以，
从而，故在上是增函数。
2. 判断奇偶性
根据条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。
例3．假设函数与的图象关于原点对称，判断：函数
是什么函数。
解：设图象上任意一点为P〔〕与的图象关于原点对称， 关于原点的对称点在的图象上，

又
即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。
二、证明单调性和奇偶性
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例4．对一切，满足，且当时，，求证：〔1〕时，〔2〕在R上为减函数。
证明：对一切有。
且，令，得，
现设，那么，， 而
，
设且， 那么

， 即为减函数。
例5．的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。
分析：在中，令，
得
令，得
于是 故是偶函数。
三、求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“〞符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例6．是定义在〔〕上的偶函数，且在〔0，1〕上为增函数，满足，试确定的取值范围。
解：是偶函数，且在〔0，1〕上是增函数， 在上是减函数，
由得。
〔1〕当时， ，不等式不成立。
2〕当时，
〔3〕当时，

综上所述，所求的取值范围是。
四、不等式
这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“〞，转化为代数不等式求解。
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例7．函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。
解：设且 那么 ，
即，
故为增函数，