2018年天津市南开中学高三模拟考试数学(理)(解析版).doc

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数学(理)
第Ⅰ卷(共40分)
一、选择题:本大题共8个小题,每题5分,,只有一项为哪一项吻合
题目要求的.
,则()
.
【答案】B
【分析】分析:分别求出不等式和的解集,求得会集,再求出会集的交集即可.
详解:,,
则,应选B.
点睛:该题观察的是相关会集的运算问题,在解题的过程中,注意正确求解对应的不等式,属于基础题目.
,则的最小值为()

【答案】A
【分析】作出不等式组表示的可行域,则在点处取到最小值,,所以最小值为2,应选
A.
,假如输出的,那么判断框中填入的条件可以是()
.
【答案】C
【分析】分析:第一从框图中观察各变量和各语句的作用,再依据流程图,可获取该程序所要解决的问题,逐渐执
行,求出满足条件的,并确立循环的条件,据此即可获取答案.
详解:依据题中所给的框图,执行过程中会出现:
,;
,;
,;
观察选项,没有适合的条件,连续执行;
依据上面的规律可以获取,再执行三次,获取,
从而可以从选项中选出适合,应选C.
点睛:该题观察的是相关程序框图的问题,在解题的过程中,注意对执行框中的内容认真分析,虚假执行,判断条件,获取结果.
,则的大小关系为()
.
【答案】A
【分析】分析:利用指数函数与对数函数的单调性即可得出结果.
详解:因为,,,所以,应选A.
点睛:该题观察的是相关指数幂和对数值的比较大小的问题,在解题的过程中,注意应用指数函数和对数函数的单
调性,确立其对应值的范围,借助于中介值来完成任务.
,且,,则()
.
【答案】D
【分析】分析:设出等比数列的公比为,利用等比数列的性质,依据已知等式求出的值,从而求出的值,表示出
与,即可求出结果.
详解:设等比数列的公比为,所以,
所以,
解得,,
,所以,应选D.
点睛:该题观察的是相关等比数列的问题,涉及到的知识点有等比数列项之间的关系,等比数列的通项公式和等比
数列的乞降公式的应用,在解题的过程中,注意认真运算.
,“”是“为直角三角形”的()


【答案】B
【分析】分析:利用正弦定理以及二倍角公式,化简已知表达式,而后确立三角形的形状,即可推出二者的关系,
获取选项.
详解:由正弦定理可知,化为,
所以,因为是三角形内角,
所以或,即或,
即或,
所以中,“”是“为直角三角形”的必需不充分条件,
应选B.
点睛:该题观察的是相关充分条件和必需条件的判断,涉及到的知识点有正弦定理,引诱公式,三角形形状的判断
问题,在解题的过程中,需要对题的条件认真分析,理解透辟,从而求得最后的结果.
,作圆的切线交双曲线右支于点,切点为,的中点在第
一象限,则以下结论正确的选项是()
.
.
【答案】A
【分析】试题分析:连结,则,在直角三角形中,,连结为线段的
中点,
为坐标原点,
,应选A.
考点:1、双曲线和圆的标准方程;
2、双曲线的定义和简单几何性质.
【思路点睛】本题主要经过双曲线和圆的标准方程观察双曲线的定义和几何性质,
奇妙将双曲线的定义运用于解题过程,在解题过程中必定要注意两点:一是圆的半径正是双曲线的实半轴
,从而利
用切线性质得出
;二是利用中位线得出
后再奇妙地利用双曲线的定义获取
.

,
,且
为偶函数,
为奇函数,若存在实数
,当
时,不等式
成立,则
的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】分析:由
及
的奇偶性求得
,从而可把
表示出来,分别出参数
后,求函数的最值,问题即可解决
.
详解:由
,
即
,得
,
又
分别为偶函数、奇函数,
所以
,联立两个式子,
可以解得
,
,即
,
即
,即
,
因为存在实数,当时,不等式成立,
,所以,
所以的最小值为,应选A.
点睛:该题观察的是相关恒成立问题对应的参数的取值范围问题,涉及到的知识点有奇偶函数的定义、函数分析式
的求解、分别参数,恒成立问题向最值靠拢,利用函数的单调性获取最值,从而求得结果.
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空题(每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上)


100名年龄在

年龄段的市民进行问卷调査,由此获取样本的频率分布直方图如图
所示,从不小于

40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取

8人,则在

年龄段抽取的人数为

__________.
【答案】2.
【分析】分析:依据频率分布直方图,求出样本中不小于40岁的人的频率与频数,再求用分层抽样方法抽取的人数.
详解:依据频率分布直方图,
得样本中不小于

40岁的人的频率是

,
所以不小于

40岁的人的频数是

;
从不小于在

40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取年龄段抽取的人数为

8人,
,
故答案为2.
,则的睁开式中常数项为__________.
【答案】.
【分析】

n=

,二项式的睁开式的通项为

,
令=0,则

r=3,睁开式中常数项为

(-2)3

=-8×4=-32.
故答案为:-32.
点睛:求二项睁开式相关问题的常有种类及解题策略:
(1),再由特定项的特色求出

值即可

.
(2)已知睁开式的某项,,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求
出其参数.
(单位:),则该几何体的体积为__________.
【答案】.
【分析】分析:第一依据题中所给的三视图,将几何体还原,分析获取其为一个圆柱和一个圆锥的组合体,所以其
体积为圆柱和圆锥的体积之和,结合图中所给的数据,利用体积公式求得结果.
详解:依据题中所给的几何体的三视图,将几何体还原,
可以获取几何体是一个圆柱和圆锥的组合体,
利用相关数据可知圆柱的体积为,圆
锥的体积为,
所以该几何体的体积为,
故答案是.
点睛:该题观察的是相关依据几何体的三视图求其体积的问题,在解题的过程中,还原几何体是解题的要点,以后
利用图中的相关数据,结合体积公式求得结果,注意组合体的体积在求解的时候将其切割,计算即可.


(

为参数),此中

,焦点为

,准线为,过抛物线上一点

作的垂线,垂
足为

.若

,点

的横坐标为

3,则

__________.
【答案】

2.
详解:抛物线的参数方程为
(为参数),
此中
,焦点为,准线为,
消去参数可得
,化简可得
,
表示极点在原点、张口向右、对称轴是
轴的抛物线,
故焦点
,准线的方程为
,
则由抛物线的定义可得
,
再由
,可得
为等边三角形,
设点
的坐标为
,则点
,
把点
的坐标代入抛物线的方程可得
,
即
,再由
,可得
,
即
,
解得
或
(舍去),故答案是2.
点睛:该题观察的是相关抛物线方程的求解问题,在解题的过程中,涉及到的知识点有抛物线的定义,相关三角形
的边的关系,对应的等量关系式的成立,最后求得结果
.
13.
平行四边形
中,
,是平行四边形
内一点,且
,若
,
则
的最大值为__________.
【答案】2.
【分析】分析:依据
,利用
,利用向量的平方和向量模的平方是相等的,利用基本不等式得
出
的最大值.
详解:因为
,所以
,
又
,即
,所以
,当且仅当
,即
时,
获得最大值2,故答案是
2.
点睛:该题观察的是求式子的最值的问题,涉及到的知识点有向量的平方和向量模的平方是相等的,向量数目积的
定义式,利用基本不等式求最值,在解题的过程中,注意式子的正确使用
.
14.
用五种不一样的颜色给三棱柱
六个极点涂色,要求每个点涂一种颜色,且每条棱的两个端点涂不一样颜色,
则不一样的涂色方法有
__________种.(用数字作答)
【答案】1920.
【分析】分析:分两步来进行,先涂
,再涂
,而后分若5
种颜色都用上、若
5
种颜色只用4种、若5种颜
色只用3种这三种状况,分别求得结果,再相加,即可得结果
.
详解:分两步来进行,先涂
,再涂.
第一类:若
5种颜色都用上,先涂
,方法有
种,再涂
中的两个点,方法有
种,最后节余的一个点只有
2种涂法,故此时方法共有
种;
第二类:若
5种颜色只用4种,第一选出4种颜色,方法有
种;
先涂
,方法有
种,再涂
中的一个点,方法有3种,最后节余的两个点只有
3
种涂法,故此时方法共有
种;
第三类:若
5种颜色只用3种,第一选出3种颜色,方法有
种;
先涂
,方法有
种,再涂
,方法有2种,故此时方法共有
种;
综上可得,不一样涂色方案共有
种,
故答案是1920.
点睛:该题观察的是相关摆列组合的综合题,在解题的过程中,涉及到的知识点有分步计数乘法原理和分类计数加
法原理,要认真分析题的条件,列式求得结果.
解答题(本大题共

6小题,共

、证明过程或演算步骤

.)

(1)求的值,并求函数的单调递加区间;
(2)若当时,不等式恒成立,务实数
【答案】(1);的单调递加区间为

.
的取值范围
.

.
(2)

.
【分析】分析:(1)利用倍角公式和辅助角公式可以求得,而后再利用正弦函数的单调性即可
得出单调区间;
(2)由,可得,可得的取值范围是,依据不等式恒成立,即,
从而求得结果.
详解:(1)
因为
经过点
,所以
,
,
因为
的单调递加区间为
所以
所以
所以
的单调递加区间为
.
(2)由(1)知
,
因为
,所以
,
当
,即
时,
,
因为
恒成马上
,所以所
.
点睛:该题观察的是相关三角函数的恒等变换以及恒成立问题,涉及到的知识点有倍角公式、辅助角公式、正弦函
数的单调性、三角函数在闭区间上的最值等,在解题的过程中,注意正确使用公式,再者就是将恒成立问题转变成
最值来办理即可.
,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择
.为增添兴趣性,商定:每一个人经过掷
一枚质地均的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为
1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于
2的人去参加乙
游戏.
(1)求这4个人中恰有
2人去参加甲游戏的概率;
(2)用
分别表示这
4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记
,求随机变量
的分布列与数学希望.
【答案】(1)
.
(2)分布列见分析;
.
【分析】分析:依题意,这
4个人中,每一个人去参加甲游戏的槪率为
,去参加乙游戏的概率为.
设“这
4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件
,则
,
(1)这4
个人中恰有2
人去参加甲游戏的槪率为
;
(2)的全部可能取值为
0,2,
4,因为与互斥,
与互斥,求出相应的概率,可得
的分布列与数学希望.
详解:(1)依题意,这4个人中,每一个人去参加甲游戏的槪率为
设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件,则
这4个人中恰有2人去参加甲游戏的槪率.
(2)的全部可能取值为0,2,4.
因为与互斥,与互斥,所以

,去参加乙游戏的概率为
,

.
,

,
所以的分布列是
所以随机变量的数学希望.
点睛:该题观察的是相关概率的问题,涉及到的知识点有古典概型及其概率计算公式,失散型随机变量的分布列及
其希望,在解题的过程中,需要认真审题,正确使用公式计算结果.
,四边形是边长为3的正方形,平面,,,与平面

所成角为

.
(1)求证:平面
(2)求二面角
(3)设点是线段

;
的余弦值;
上的一个动点,试确立点

的地址,使得

平面

,并证明你的结论

.
【答案】

(1)证明见分析

.
.
;证明见分析.
【分析】试题分析:(1)由正方形性质得,由平面得,再依据线面垂直判判定理得
平面(2)利用空间向量求二面角:先依据条件成立空间直角坐标系,成立各点坐标,利用方程组解各面法向量,
依据向量数目积求向量夹角,最后依据二面角与向量夹角关系求二面角(3)设点坐标,依据平面得
,列方程解得点坐标,再确立地址