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第七章层流(cénɡliú)边界层的流动与换热
上一章从质量、动量和能量守恒出发,建立了对流换热的数学描述。但是,由于方程的强非线性,得到这些偏微分方程的分析解通常是十分困难的,只有极个别的问题采用经典方法得到了分析解。
本章讨论边界层理论,导出边界层微分力程,它是基于守恒原理的数学近似,为求解实际(shíjì)问题大大简化了数学方程组。有关边界层微分方程的经典解法——相似解,在本章中给予详细讨论,同时,对求解简单积分方程的方法进行介绍。
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7-1对流(duìliú)换热中的根本问题
工程上经常遇到(yùdào)的典型对流换热的外部问题,如图7-1所示,流体以均匀的速度u∞和温度T∞流过温度为Tc的平板。这种换热表面可以是建筑围护结构、电于器件冷却表面,也可以是换热器的表面或肋表面。工程中需要了解以下两个问题:
(1)介质中平板的受力情况。
(2)平板与介质的换热情况。
对第一个问题的分析,可以得到流动的阻力(压力损失),也就是维持流动所需要的泵功率或能耗。这是流体力学与工程热力学应用于传热过程的问题。通过对第二个问题的回答,可以预测平板与介质之间的传热速率,这是传热学的根本问题。
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7-1对流(duìliú)换热中的根本问题
图7-1沿平板流动(liúdòng)的边界层速度和温度分别
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7-1对流(duìliú)换热中的根本问题
可以通过实验的方法,也可以通过分析的方法得到以上问题的速度分布和温度分布,进而获得流动阻力和热流(rèliú)密度。
以二维常物性不可压缩流体为例,控制微分方程组可由第六章中的基本方程得到:
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边界条件为:
壁面处
u=0,非滑移界面
v=0,无渗透表面
T=Tc,常壁温
远离壁面处
u=U∞,均匀流
v=0,均匀流
T=T∞,均匀温度
求解以上方程组,可以得到(dédào)速度场和温度场,利用粘性定律可以得到(dédào)表面摩擦阻力,利用傅里叶定律可以得到(dédào)壁面处的热流密度。
7-1对流(duìliú)换热中的根本问题
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上一节给出的二维稳态常物性的数学方程是一组非线性偏微分方程,除极少数简单状况外,通常不能得到分析解。1904年,普朗特提出的边界层理论大大简化了纳维-斯托克斯方程,使许多工程间题得到了有效的解决。
7-2-1速度边界层
通过实验观察可以发现,流体流过平板时,由于流体粘性的作用(zuòyòng),在壁面处流体的速度为零,在垂直于流动方向的很短距离内,速度迅速增加到接近主流速度(即速度梯度主要出现在靠近壁面的区域)。边界层理论认为,只在贴壁处的薄层内考虑粘性的影响,此薄层称为速度边界层,如图7-2所示。
7-2边界层分析(fēnxī)
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7-2边界层分析(fēnxī)
图7-2外掠平板(píngbǎn)的速度边界层
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通常定义边界层的外缘为速度达到主流速度的99%处,即u=,U表示主流速度。在y=δ以外区域,粘性的影响由于速度梯度很小而忽略不计,按理想流体处理。边界层理论将流场分为两个区域。其一是流体粘性起主要作用的边界层区。此区域中垂直于主流方向的速度梯度很大,尽管介质的粘性较小,但粘性切应力很大,动量传递主要依靠分子扩散,认为边界层外缘的速度已达到主流速度,此处横向速度梯度接近于零。另一区域是边界层外的流动,该区域中流体的速度梯度接近于零,粘性力可以忽略不计,按无粘性的势流处理,符合伯努利方程。严格地讲,边界层区与主流区无明确的分界面,按实际壁面粘性滞止作用的影响区,其边界应在无限远处。因此,边界层是一种人为引进的理想化概念。
边界层的另一重要特点是其厚度δ远远小于平壁的长度L,即占δ<<L。理论上讲,在平板前缘边界层理论并不成立,在以后的分析中不难得到(dédào)此结论。
此外,边界层内的流动也分为层流区、湍流区和缓冲层区,这些在流体力学和基础传热学中已有详细介绍,这里不再重复。
7-2边界层分析(fēnxī)
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7-2-2温度边界层
与速度边界层类似,当具有均匀温度的流体流过一壁面时,若壁面温度与流体温度不同,流体温度将在靠近壁面的一个(yīɡè)很薄的区域内从壁面温度变化到主流温度,该层称为温度边界层,或热边界层。热边界层厚度用δt表示,如图7-3所示,通常规定其边界在垂直于流动方向流体温差t∞-(t∞-tw)处,t∞表示主流温度,tw表示壁面温度。在温度边界层内,温度梯度很大,而其外部温度梯度很小可以忽略不计,即热边界层外可近似按等温区处理。热边界层厚度与流动方向的尺寸相比也是小量。速度边界层厚度通常不等于温度边界层厚度,两者的关系通常取决于流体的热物性。
7-2边界层分析(fēnxī)
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