高三复习数学教案第03讲函数的基本性质.docx

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高三新数学第一轮复****教课方案(讲座3)—函数的基本性质

,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;
,认识奇偶性的含义;

从近几年来看,函数性质是高考命题的主线索,不论是何种函数,必定与函数性质相关系,因此在复****中,针对不相同的函数种类及综合情况,归纳出必然的复****线索。
展望高考的出题思路是:经过研究函数的定义域、值域,进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。
展望明年的对本讲的察看是:
1)察看函数性质的选择题1个或1个填空题,还可能结合导数出研究函数性质的
大题;
2)以中等难度、题型奇特的试题综合察看函数的性质,以组合形式、一题多角度察看函数性质预计成为新的热点。


(1)定义:若是关于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函
数;若是关于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
若是函数f(x)不拥有上述性质,则f(x)
质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。
注意:
○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
○2由函数的奇偶性定义可知,函数拥有奇偶性的一个必要条件是,关于定义域内的
任意一个x,则-x也必然是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
○1第一确定函数的定义域,并判断其定义域可否关于原点对称;○2确定f(-x)与f(x)的关系;
○3作出相应结论:
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数。
3)简单性质:①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个
函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;
②设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇

(1)定义:一般地,设函数
y=f(x)的定义域为I,若是关于定义域I
内的某个区间
D内的任意两个自变量
x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),那么就说f(x)
在区间D上是增函数(减函数);
注意:
○1
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
○
必定是关于区间
D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2)
2
(2)若是函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,
那么就说函数
y=f(x)在这一
区间拥有(严格的)单调性,区间
D叫做y=f(x)的单调区间。
3)设复合函数y=f[g(x)],其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间,B是映
射g:x→u=g(x)的象集:
①若u=g(x)在A上是增(或减)函数,y=f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数
y=f[g(x)]在A上是增函数;
②若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=f(u)在B上是减(或增)函数,则函数
y=f[g(x)]在A上是减函数。
(4)判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
○1任取x1,x2∈D,且x1<x2;
○2作差f(x1)-f(x2);
○3变形(平时是因式分解和配方);
○4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
○5下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。
5)简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反;③在公共定义域内:
增函数f(x)增函数g(x)是增函数;
减函数f(x)
增函数f(x)
减函数f(x)

减函数g(x)
减函数g(x)
增函数g(x)

是减函数;
是增函数;
是减函数。

(1)定义:
最大值:一般地,设函数
y=f(x)的定义域为I,若是存在实数
M满足:①关于任意的
x∈I,都有f(x)≤M;②存在
x0∈I,使得f(x0)=M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。
最小值:一般地,设函数
y=f(x)的定义域为I,若是存在实数
M满足:①关于任意的
x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。
注意:
○1函数最大(小)第一应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得f(x0)=M;
○2函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即关于任意的x∈I,都有f(x)
≤M(f(x)≥M)。
(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法:
○1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;
○2利用图象求函数的最大(小)值;
○3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
若是函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递加,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b
处有最大值f(b);
若是函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递加则函数y=f(x)在x=b
处有最小值f(b);

1)定义:若是存在一个非零常数T,使得关于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数;
(2)性质:①f(x+T)=f(x)常常写作f(xT)f(xT),若f(x)的周期中,存在一个最
22
小的正数,则称它为f(x)的最小正周期;②若周期函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω≠0)
是周期函数,且周期为T。
||

题型一:判断函数的奇偶性
:
16x
1
2x
1n(
x
1
x)(x
0)
(2)f(x)
0
(x
0);
(1)f(x)
;
2x
1n(
1
x
x)(x
0)
(3)f(x)1og2(
1
x2
x2
11);
a2
x
2
(4)f(x)
a|
(常数a0);
|x
a
解:(1)函数定义域为
R,
f(x)
16x
12x
2x
1
112x
116x
1
16x
12x
f(x),
2x
16x
4x
2x
∴f(x)为偶函数;
(另解)先化简:f(x)
16x
114x
4x
1,显然f(x)为偶函数;从这
4x
能够看出,化简后再解决要简单得多。
2)须要分两段谈论:①设
x0,
x
0,
f(
x)
1n(
1
x
x)
1n
1
1n(
x
1
x)
f(x);
x
1
x
②设
x0,
x
0,
f(
x)
1n(
x
1
x)
1n
1
1n(
1
x
x)
f(x)
x
x
1
③当x=0时f(x)=0,也满足f(-x)=-f(x);
由①、②、③知,对
x∈R有f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数;
(3)
1
x2
0
x
2
1,∴函数的定义域为
x
1,
x2
1
0
∴f(x)=log21=0(x=±1),即f(x)的图象由两个点
A(-1,0)与B(1,0)组成,
这两点既关于
y轴对称,又关于原点对称,∴
f(x)既是奇函数,又是偶函数;
(4)∵x2≤a2,∴要分a>0与a<0两类谈论,
①当a>0时,
a
x
a
函数的定义域为[(
,0)
(0,)],
|x
a|
a
a
a
|x
a|
0,
f(x)
a2
x2
,∴当a>0时,f(x)为奇函数;
x
|xa|0,
f(x)
a2
x2
取定义域内关于原称点的对两点
a
a
x
,
x1
,x2
,
2a
2
2
a
a
3
3
0,当a
0时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函
f( )f(
)
5
3
2
2
数.
谈论:判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先察看函数
的定义域,若函数的解析式能化简,一般应试虑先化简,但化简必定是等价变换过程(要
保证定义域不变)。
例2.()设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,以下函数:①y=-|f(x)|;②y=xf(x2);③y=-f(-x);④y=f(x)-f(-x)。
必为奇函数的有_____(要求填写正确答案的序号)
答案:②④;解析:y=(-x)f[(-x)2]=-xf(x2)=-y;y=f(-x)-f(x)=
y。
谈论:该题察看了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思想能力有较高的要求。题型二:奇偶性的应用
例3.(2002上海春,4)设f(x)是定义在R上的奇函数,若当x≥0时,f(x)=log3
(1+x),则f(-2)=_____。
答案:-1;解:由于x≥0时,f(x)=log3(1+x),又f(x)为奇函数,因此

f(-
x)=-f(x),设x<0,因此f(x)=-f(-x)=-f(1-x),因此f(-2)=-log33=-1。
谈论:该题察看函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性获取函数在对称地域上函数的取值。
=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时f(x)的表达式。
解:由条件能够看出,应将区间[-4,0]分成两段考虑:
①若x∈[-2,0],-x∈[0,2],
∵f(x)为偶函数,
∴当x∈[-2,0]时,f(x)=f(-x)=-2x-1,
②若x∈[-4,-2),
4+x∈[0,2),
f(2+x)+f(2-x),∴f(x)=f(4-x),
∴f(x)=f(-x)=f[4-(-x)]=f(4+x)=2(x+4)-1=2x+7;
2x
7
(
4
x
2)
综上,f(x)
1
(
2
x
.
2x
0)
谈论:结合函数的数字特点,借助函数的奇偶性,办理函数的解析式。
题型三:判断证明函数的单调性
例5.(2001天津,19)设a0,f(x)
ex
a
是R上的偶函数。
a
ex
(1)求a的值;(2)证明f(x)在(0,
)上为增函数。
解:(1)依题意,对所有x
R,有f(x)
f(x),即
1
x
ex
a
aex
ae
a
ex。
∴(a
1)(ex
1x)0对所有x
R成立,则a
1
0,∴a
1
,
a
e
a
a0,∴a1。
(2)(定义法)设0
x1
x2,则f(x1)
f(x2)
ex1
ex21
1
ex1
ex2
(e
x2
x1
)(
1
1)
e
x1
(e
x2x1
1)
1ex2x1
,
e
x
x
x
x
e1
2
e2
1
由x10,x2
0,x2
x1
0,得x
x0,ex2x110,1ex2
x1
0,
1
2
∴f(x1)
f(x2)0,
即f(x1)
f(x2),∴f(x)在(0,
)上为增函数。
(导数法)∵
a
1,x
(0,
)
x
1
e
x
1
(ex)2
1
0
∴f(x)(e
e
x)
x
x
e
e
∴f(x)在(0,
)上为增函数
谈论:此题用了两种方法:定义法和导数法,对照之下导数法比定义法更为简洁。
(x)是定义在R上的增函数,对x∈R有f(x)>0,且f(5)=1,设F(x)=
f(x)+
1
,谈论F(x)的单调性,并证明你的结论。
f(x)
解:这是抽角函数的单调性问题,应该用单调性定义解决。
在R上任取x1、x2,设x1<x2,∴f(x2)=f(x1),
F(x2)F(x1)[f(x2)
1
]
f(x2)
1
[f(x2)f(x1)][1
f(x1)f(x2)

[f(x1)
1
]
f(x1)
],
f(x)是R上的增函数,且f(10)=1,
∴当x<10时0<f(x)<1,而当x>10时f(x)>1;
①若x1<x2<5,则0<f(x1)<f(x2)<1,
②∴0<f(x1)f(x2)<1,
∴1
1
<0,
(x1)f(x2)
F(x2)<F(x1);
②若x2>x1>5,则f(x2)>f(x1)>1,
f(x1)f(x2)>1,
∴1
1
>0,
(x1)f(x2)
F(x2)>F(x1);
综上,F(x)在(-∞,5)为减函数,在(5,+∞)为增函数。
谈论:该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学****中一类比较特其他问题,其基本能力是变量代换、换元等,应熟练掌握它们的这些特点。
题型四:函数的单调区间
例7.(2001春季北京、安徽,
12)设函数f(x)=x
a
x
b

(a>b>0),求f(x)的
单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性。
.解:在定义域内任取x1<x2,
∴f(x1)-f(x2)=x1
a
x2
a
(x1a)(x2
b)(x1
b)(x2a)
x2
b
x2
b
(x1
b)(x2
b)
(b
a)(x1
x2)
(x1
b)(x2
,
b)
∵a>b>0,∴b-a<0,x1-x2<0,
只有当x1<x2<-b或-b<x1<x2时函数才单调.
当x1<x2<-b或-b<x1<x2时f(x1)-f(x2)>0.
∴f(x)在(-b,+∞)上是单调减函数,在(-∞,-
b)上是单调减函数.
谈论:本小题主要察看了函数单调性的基本知识。关于含参数的函数应用函数单调
性的定义求函数的单调区间。
例8.(1)(x2
3x2)的单调区间;
(2)已知f(x)82x
x2,若g(x)
f(2x2)试确定g(x)的单调区间和单调
性。
解:(1)函数的定义域为
(
,1)
(2,
),
分解基本函数为
y
、t
x2
3x2
显然y
(0,
)上是单调递减的,而
t
x2
3x
2在(
,1),(2,)上
分别是单调递减和单调递加的。依照复合函数的单调性的规则:
(x2
3x
2)在(
,1),(2,
)上分别单调递加、单调递减。
(2)解法一:函数的定义域为
R,
分解基本函数为
g
f(t)
t2
2x
8和t
2
t2。
显然g
f(t)
t2
2
x
8在(1,
)上是单调递减的,
(
,1)上单调递加;
而t
2
x2
在(
,0),(0,
)上分别是单调递加和单调递减的。且
2x2
1
x
1,
依照复合函数的单调性的规则:
因此函数的单调增区间为
(
,
1),(0,1);单调减区间为(1,
),(
1,0)
。
解法二:g(x)
8
2(2
x2)
(2x2)2
x4
2x2
8,
g(x)
4x3
4x
,
令g(x)
0,得x
1或0x
1,
令g(x)0,x1或1x0
∴单调增区间为(,1),(0,1);单调减区间为(1,),(1,0)。
谈论:该题察看了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。
题型五:单调性的应用
(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=0,解不等式f[log2(x2+5x+4)]
0。
解:∵f(2)=0,∴原不等式可化为f[log2(x2+5x+4)]≥f(2)。
又∵f(x)为偶函数,且
f(x)在(0,+∞)上为增函数,
∴f(x)在(-∞,0)上为减函数且f(-2)=f(2)=0。
∴不等式可化为
log2(x2+5x+4)≥2
①
或
log2(x2+5x+4)≤-2
②
由①得x2+5x+4≥4,∴x≤-5或x≥0
③
由②得0<x2+5x+4≤1得
4
510≤x<-4或-1<x≤
510
④
2
2
由③④得原不等式的解集为
{x|x≤-5或
5
10≤x≤-4或-1<x≤
5
10或x≥0}。
2
2

f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+∞]上是增函数,可否存在实
数m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对所有θ∈[0,]都成立?若存在,求出
2
吻合条件的所有实数m的范围,若不存在,说明原由。
解:∵f(x)是R上的奇函数,且在[0,+∞]上是增函数,
∴f(x)是R上的增函数,于是不等式可等价地转变为f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),
即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0。
设t=cosθ,则问题等价地转变为函数
2
g(t)=t2-mt+2m-2=(t-m)2-m+2m-2在[0,1]上的值恒为正,又转变为函
4
数g(t)在[0,1]上的最小值为正。
∴当m<0,即m<0时,g(0)=2m-2>0
m>1与m<0不符;
2
当0≤m≤1时,即0≤m≤2时,g(m)=-m2
+2m-2>0
4-22<m<4+22,
2
4
∴4-22<m≤2
当m>1,即m>2时,g(1)=m-1>0m>1。
2
∴m>2
综上,吻合题目要求的

m的值存在,其取值范围是

m>4-2

2

。
另法(仅限当

m能够解出的情况

):

cos2θ

-mcosθ+2m-2>0

关于θ∈[0,

]恒成
2
立,等价于

m>(2-cos2θ)/(2-cosθ)

关于θ∈[

0,

]恒成立
2
∵当θ∈[0,

]时,

(2-cos2θ)/(2-cosθ)

≤4-2

2

,∴m>4-2

2

。
2
谈论:上面两例子借助于函数的单调性办理了恒成立问题和不等式的求解问题。题型六:最值问题
例11.(2002全国理,21)设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R。
(1)谈论f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小值。
2
解:(1)当a=0时,函数f(-x)=(-x)+|-x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数。
当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a)。此时函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数。
2)①当x≤a时,函数f(x)=x2-x+a+1=(x-1)2+a+3。
2
4
若a≤1,则函数f(x)在(-∞,a)上单调递减,进而,函数
f(x)在(-∞,a)
2
上的最小值为f(a)=a2+1。
若a>1,则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为
f(1)=
3
+a,且f(
1)≤
2
2
4
2
f(a)。
②当x≥a时,函数f(x)=x2+x-a+1=(x+
1)2-a+
3。
2
4
若a≤-1,则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为
f(-1)=
3-a,且f(-1)
2
2
4
2
≤f(a)。
若a>-1,则函数f(x)在[a,+∞]上单调递加,进而,函数
f(x)在[a,+
2
∞]上的最小值为f(a)=a2+1。
综上,当a≤-1时,函数f(x)的最小值是3-a。
2
4
当-1<a≤1时,函数f(x)的最小值是a2+1。
2
当a>1时,函数f(x)的最小值是a+3。
24
谈论:函数奇偶性的谈论问题是中学数学的基本问题,若是平时注意知识的积累,
∈R,f(0)=|a|+1≠0,由此消除f(x)是奇函数的可能性.
运用偶函数的定义解析可知,当a=0时,f(x)是偶函数,第2题主要察看学生的分类谈论思想、对称思想。