南京大学和数学分析考研试题及解答.doc

南京大学2002年数学分析考研试题
一求下列极限。
(1);
(2)设,,
(i)在上的最大值;
(ii)设,,,,求。
二设,试证明在内有无穷多个零点。
三设在的某个邻域内连续,且,,
(1)求;
(2)求;
(3)证明在点处取得最小值。
四设在的某个邻域内具有二阶连续导数,且,试证明:
(1);
(2)级数绝对收敛。
五计算下列积分
(1)求;
(2),其中是圆柱面,三个坐标平面及旋转抛物面所围立体的第一象限部分的外侧曲面。
六设,在内可导,不恒等于常数,且,
试证明:在内至少存在一点,使。
七在变力的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面
,
第一象限的点,问取何值时,所做的功最大,并求的最大值。
八(1)证明:,;
(2)求。
南京大学2002年数学分析考研试题解答
一(1)解
.
(2)解(i),
当时,,在上单增,
当时,,在上单减,
所以在处达到最大值,;
(ii)当时,,
,
,
,
,,
, 单调递增有上界,设,则有
,,,
;
当时,,;
当时,,,
,
二证明因为,
,,
显然在上连续,由连续函数的介值定理知,存在使得
,
即得在上有无穷多个零点。
三解(1),
因为,所以,
,
,
于是;
(3)由知,存在,当时,,,
即知中在处取得极小值。
四、证明(1)由,知,
由知.
(2),
,已知收敛,其中,
于是收敛,结论得证。
五(1)解

,
所以
.
(2)解曲面,事物交线为,,
,
,
其中是区域的边界时,利用高斯公式,

.
当是的边界时,利用高斯公式

.
六证明证法一用反证法,假若结论不成立,则对任意,都有,在上单调递减,由于不恒等于常数,所以不恒等于零,存在一点,使得,,存在,使得
,,
因为,,
所以,这与矛盾,从而假设不成立,原结论得证。
证法2 由于在上连续,在上取到最大值和最小值,且,由于,所以的最大值或最小值必在内达到。
若在处达到最大值,存在使得
,
从而有;
若在处达到最小值,存在使得
,
从而有;
结论得证。
七解设,则有,所以是有势场,
,
由于时,
,
,
等号成立当且仅当,
所以时,达到最大值,且的最大值为。
八证明(1)由于当时,有,
对任意,,取,,
所以有;
(2)取,
有,收敛,
对任意,在上一致收敛于,
故由函数列积分的黎曼控制收敛定理,
。
南京大学2003年数学分析考研试题
一求下列极限
(1)设,求;
(2)设,,,求。
(3)。
二过点作抛物线的切线,求
(1)切线方程;
(2)由抛物线、切线及轴所围成的平面图形面积;
(3)该平面图形分别绕轴和轴旋转一周的体积。
三对任一,求在中的最大值,
并证明该最大值对任一,均小于。
四设在上有连续导数,且,,(为常数),试证:在内仅有一个零点。
五计算下列积分
(1)设,,求和;
(2),其中为上半球面,的外侧。
六设,在上黎曼可积,
(1)求,并讨论在上的一致收敛性;
(2)求,(要说明理由)
七设的收敛半径为,令,试证明:在上一致收敛于,其中为任一有穷闭区间。
南京大学2003年数学分析考研试题解答
一(1)解设,则有,
由此知,;
(2)解由归纳法,易知,,
,
由此知,单调递增有界,设,,
则有,
,故。
(3)
,
,
故。
3 解(1),设切点为,,
设切点的切线方程为。
将,代入,,
,
,,
所求切线方程为,即。
(2)解。
(3)
,
。
三解,
当时,,
当时,,
于是在处达到最大值,
。
容易证明在上单调递减,,
,
故有.
四证明对任意,
,
当充分大时,有,又,由连续函数的介值定理,存在,,
由,在上严格单调递增,所以在内仅有一个零点。
五(1)解
,
显然,
,
,
.
(2)解,
,

.
六、解,
由于极限函数在上不连续,
所以在上不一致收敛;
但对任何在上一致收敛于0;
且,