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文档介绍
(弱大数定律) 设是iid序列, 则存在实数列, 使得
. (1)
等价于
. (2)
证明令,则.
“”取与独立同分布, 记, . 对任意实数, 由弱对称不等式
知, 如存在实数, 使, 则. 反之, 如, 则存在, 使. 即(1)式等价于
. (3)
故只需对对称化序列证明(1)式, 即可不妨设是对称序列, 并可设(1)式中的. 对, 记
.
, 我们有
.
所以由Morkov不等式得
. (4)
由等价于, 故
. (5)
由的对称性知仍是对称的, 即可验证与同分布, 故. 且由独立有
.
由. 取
,
有, 及对, 由, 有, 故由Toeplitz引理得
.
结合(4)、(5)即得(1).
“”由(3)及Lévy不等式, 以及, 对任给的
. (6)
下证在独立的条件下, 等价于. 事实上, 记. 由独立性得
,
由, 以及用归纳法可证, 当有得
,
故
.
由此即得等价于. 故由(6)得
.
由弱对称不等式得
.
又当充分大时, 有, 故
.
取得, 等价于, 即(2)成立.
. (1)
等价于
. (2)
证明令,则.
“”取与独立同分布, 记, . 对任意实数, 由弱对称不等式
知, 如存在实数, 使, 则. 反之, 如, 则存在, 使. 即(1)式等价于
. (3)
故只需对对称化序列证明(1)式, 即可不妨设是对称序列, 并可设(1)式中的. 对, 记
.
, 我们有
.
所以由Morkov不等式得
. (4)
由等价于, 故
. (5)
由的对称性知仍是对称的, 即可验证与同分布, 故. 且由独立有
.
由. 取
,
有, 及对, 由, 有, 故由Toeplitz引理得
.
结合(4)、(5)即得(1).
“”由(3)及Lévy不等式, 以及, 对任给的
. (6)
下证在独立的条件下, 等价于. 事实上, 记. 由独立性得
,
由, 以及用归纳法可证, 当有得
,
故
.
由此即得等价于. 故由(6)得
.
由弱对称不等式得
.
又当充分大时, 有, 故
.
取得, 等价于, 即(2)成立.
弱大数定律的证明 来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.
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