扇形、圆柱、圆锥面积公式.pdf

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扇形、圆柱、圆锥面积公式
扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图
[学****目标]
:正多边形,正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶
嵌等。
:
n是圆心角度数,R是扇形半径,l是扇形中弧长。
°形成的几何体,侧面展开是矩形,长为底面
圆周长,宽为圆柱的高
r底面半径h圆柱高

圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。
侧面展开是扇形,扇形半径是圆锥的母线,弧长是底面圆周长。
,明确圆柱的高和母线,它们相等。
,明确圆锥的高和母线,知道可以
通过解高、母线、底面半径所围直角三角形,解决圆锥的有关问题。

圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。圆柱的
侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。如图所示,若圆柱的底面半径为r,高为h,
则:,。
.:.
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圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。圆锥的底面是一个圆,侧面是一个曲
面,这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥的母线,
扇形的弧长是圆锥底面的周长。因此,圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长
积的一半。如图所示,若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则
。
[重点、难点]
扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。
【典型例题】
,矩形ABCD中,AB=1cm,BC=2cm,以B为圆心,BC
为半径作圆弧交AD于F,交BA延长线于E,求扇形BCE被矩形所截剩余部
分的面积。
图1
解:∵AB=1,BC=2,F点在以B为圆心,
.:.
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BC为半径的圆上,
∴BF=2,∴在Rt△ABF中,∠AFB=30°,∠ABF=60°
∴
°,弧长为,则扇形的面积为
____________。
解:设扇形的面积为S,弧长为l,所在圆的半径为R,
由弧长公式,得:
∴
由扇形面积公式,,故填。
点拨:本题主要考查弧长公式和扇形面积公式。
,则此弓形的面积为__________。(弓形的
弧为劣弧)。
解:∵弓形弦长等于半径R
∴弓形的弧所对的圆心角为60°
∴扇形的面积为。
三角形的面积为。
.:.
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∴弓形的面积为。
即。故应填。
点拨:注意弓形面积的计算方法,即弓形的面积等于扇形面积与三角形面积
的和或差。本题若没有括号里的条件,则有两种情况。
,这个圆锥的侧面积为
_____________。
解:∵圆锥的底面直径等于a。
∴底面半径为,
∴底面圆的周长为。沥青保温泵
又∵圆锥的母线长为a,
∴圆锥的侧面积为。
故应填
点拨:圆锥的侧面积即展开图的扇形面积,可利用扇形的面积公式
求得。
,OA和OO是⊙O中互相垂直的半径,B在上,弧
1
的圆心是O,半径是OO,⊙O与⊙O、⊙O、OA都相切,OO=6,求图中
11211
阴影部分的面积。
.:.
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图2
解:设⊙O与⊙O、⊙O、OA分别切于点D、C、E,设⊙O的半径为r,
212
连结O1O2,O2E,过点O2作O2F⊥O1O于F,连结O1B、OB、OO2。
∵OO=6,
1
∴
∴
又∵
,
∴,
,
,
∴(舍去)3GR螺杆泵
.:.
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又∵是等边三角形
,
∴扇形和扇形的面积相等且都等于。沥青齿轮泵
∴所组成的图形面积为扇形OBO和扇形OOB的面积之
11
和减去三角形OOB的面积,即:
1
又∵扇形OAO的面积为:沥青泵
1
∴阴影部分的面积为:
点拨:本题比较复杂,考查的知识面比较多,要正确作辅助线,找出解题的
思路。
,引两条平行弦,它们所对的弧分别为120°和60°,
求两弦间所夹图形的面积及周长。
解:分两条弦在圆心的同侧或两侧这两种情况:
①如图3所示,由题意,
.:.
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图3
则∠AOB=120°,∠COD=60°
又∵AB∥CD,
∴,
∴∠AOC=∠BOD
又∵∠AOC+∠BOD=180°
∴∠AOC=∠BOD=90°
∴
又∵
故所求面积为
又∵∠AOC=90°,
.:.
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∴,
同理
又∵△OCD是等边三角形,
∴CD=OC=OD=2
又∵
∴所求的周长
②如图4所示,由第一种情况,得所求面积:
图4
所求周长
.:.
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点拨:要注意本题的两种情况,另外,弧长公式和扇形以及弓形的面积求法
要求正确掌握,熟练运用。
沥青保温泵
,已知正方形的边长是4cm,求它的内切圆与外接圆组成的
圆环的面积。(答案保留)
(1999年广州)
图5
解:设正方形外接圆、内切圆的半径为R、r,面积为
。
∵
∴。
常见错误:此题最容易产生的问题是找不出正方形边长的一半与两圆的半径
之间的勾股关系。即不会运用圆内接正方形与圆外切正方形的性质来解题。这一
点读者应认真体会。
,已知△ABC内接于⊙O,且AB=BC=CA=6cm
.:.
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图6
(1)求证:∠OBC=30°;
(2)求OB的长(结果保留根号);
(3)求图中阴影部分的面积(结果保留)。
解:(1)AB=BC=CA,∴∠A=60°
∴∠BOC=120°,又∵OB=OC,
∴∠OBC
(2)过O作OD⊥BC于D,
∵OB=OC,BC=6cm,
∴
∵,
∴
(3)∵
∴
即阴影部分面积是。3GR螺杆泵
.:.
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常见错误:此题常见的问题是不会运用正三角形这一条件,从而无法证明∠
OBC=30°;当然,解直角三角形失误,求扇形面积时公式记错产生的错误,
也是考试中的常见错误,应引起警惕。
沥青齿轮泵
,侧面展开图是半圆,求圆锥的侧面积。
点悟:如图7所示,欲求圆锥的侧面积,即求母线长l,底面半径r。由圆锥
的形成过程可知,圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即Rt△SOA,且
SO=10,SA=l,OA=r,关键找出l与r的关系,又其侧面展开图是半圆,可
得关系,即。
图7
解:设圆锥底面半径为r,扇形弧长为C,母线长为l,
由题意得
∴①
在Rt△SOA中,②
由①、②得:。
∴所求圆锥的侧面积为
。
.:.
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△PAB,且PA=PB=3,AB=2,M是AB上一
点,且PM=2,那么在锥面上A、M两点间的最短距离是多少?
点悟:设圆锥的侧面展开图是扇形PBB',A点落在A'点,则所求A'、M之
间的最短距离就是侧面展形图中线段A'M的长度。
解:如图8所示,扇形的圆心角=360°
图8
∴∠A'PB=60°,在△A'PM中,过A'作A'N⊥PM于N,
则
∴,
【模拟试题】(答题时间:40分钟)
一、填表
(1)已知:正n边形边长为a
正n边形中心角半径边心距周长面积
n=3
n=4
n=6
.:.
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(2)已知:正n边形半径R
正n边形中心角半径边心距周长面积
n=3
n=4
n=6
二、填空题:
,圆心角120°,则它的面积是_____________cm2。
,高3cm,则其侧面展开图的圆心角是_____________
度。
,母线长5cm,则它的侧面展开图面积是
_____________cm2。
,底面半径3cm,高为8cm,今有一长12cm的吸管斜
放入杯中,若不考虑吸管粗细,则吸管最少露出杯口处的长度是
_____________cm。
,圆心角为120°的扇形纸片做成一圆锥侧面,那么圆
锥底面半径是_____________cm。
,正方形ABCD边长为2,分别以AB、BC为直径在正方形内作半
圆,则图中阴影部分面积为_____________平方单位。
图1
,AB=2cm,∠AOB=90°,AO=BO,以O为圆心,OA为半径
作弧AB,以AB为直径做半圆AmB,则半圆和弧AB所围阴影部分面积是
_____________cm2。
.:.
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图2
,母线长5cm,则圆锥的高为_____________cm。
,它的高为2cm,则底面半径为_____________cm。
,AC=4cm,∠ACB=30°,以直线AB为轴旋转一周,
得到圆柱表面积为_____________cm2。
三、解答题:
,它的面积恰好等于一个半径为的圆面积,
那么这个扇形的圆心角为多少度?沥青保温泵
,已知半圆O,以AD为直径,AD=2cm,B、C是半圆弧的三等
分点,求图中阴影部分面积。
图3
,割线PCD过圆心O,且PD=3PC,PA、PB切⊙O于点A、
B,∠PAB=60°,PA=,AB与PD相交于E,求弓形ACB的面积。
.:.
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【试题答案】
一、填表:
(1)
正n边形中心角半径边心距周长面积
n=3120°3a
n=490°4a
n=660°a6a
(2)
正n边形中心角半径边心距周长面积
n=3120°
n=490°
n=660°R6R
二、填空题:
.
.

10.
.:.
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三、解答题:
:由题意,设所求圆心角为°,则
3GR螺杆泵
答:所求扇形圆心角为60°
:连结OB、OC沥青齿轮泵
∵
∴沥青齿轮泵
沥青泵
:连结OA、OB,在Rt△AEP中,∠PAB=60°
∴∠APD=30°
在Rt△OAP中,
∴∠AOP=60°,OA=4,PO=8
∴∠AOB=120°
∴
由题意,PD=3PC
∴
PC=4,PD=12
.:.
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∴CD=8
由题意:
∴
∴OE=3
∴
∴
.