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减肥问题的数学模型
一、问题的提出
随着社会的进步和发展,人们的生活水平在不断地提高。由于饮食营养摄入量的不断改善和提高,体重或多或少的增加在所难免。近年来,肥胖严重影响着人们正常的日常生活、学****工作和社会交往,甚至威胁人类的健康。它已经成为全社会关注的一个重要的问题。无论从健康的角度还是从审美的角度,人们越来越重视自己形体的健美。因此,目前社会上出现了各种各样的减肥食品(或营养素)和名目繁多的健美中心。
如何对待减肥的问题,我们也可以通过组建模型,从数学的角度对有关的规律做进一步的探讨和分析。
二、背景知识
根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知:
(1)每日膳食中,营养素的供给量是作为保证正常人身体健康提出的膳食质量标准。营养素的需求量是指维持身体正常的生理功能所需要的营养素的数量。如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个量,将使身体产生不利的影响。
(2)人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。如果我们每天吸收的能量超过消耗的能量,则体重会增加,达不到减肥的目的。如果我们每天吸收的能量等于消耗的能量,我们的体重基本就不变化。如果我们每天吸收的能量小于消耗的能量,我们的体重就会减少,则减肥的问题便能够得到解决。
(3)人体热能需要量的多少,主要决定于三个方面:维持人体基本代谢所需的能量、从事劳动和其他活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用(将食物转化为人体所需的能量)所消耗的能量。
(4)一般情况下,成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为4200焦耳。
(5)一般情况下,食用普通的混合膳食,×106~×106焦耳,相当于基础代谢的10%。
三、模型假设
(1)由于人体脂肪是能量的主要贮存和提供的方式,也是减肥的主要目标。不妨以脂肪的重量作为体重的标志。已知脂肪的能量转换率为100%,1kg脂肪可
×107焦耳的能量。记D=×107焦耳/千克,称为脂肪的能量转换系数。
(2)人体的体重仅仅看成是时间t的函数w(t),这意味着在研究减肥的过程中,我们忽略了个体间的差异(年龄、性别、健康状况等)对减肥的影响。
(3)无论是由于进食摄取能量导致体重的增加,还是由于体力活动消耗能量致使体重的减少都是一个渐变的过程。因此,可以认为能量的摄取和消耗都是随时发生的。体重随时间的变化w(t)是连续而且充分光滑的。
(4)人体通过各种活动(劳动、体育等)来消耗自身的能量,从而达到减肥的目的。不同的活动对能量的消耗是不同的。假设在单位时间内,人体的这种消耗与其体重成正比。记B为每1千克体重每天某一种活动所消耗的能量。
(5)单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比与人的体重。记C为1千克体重每天所消耗的能量。
(6)人体每天摄入的能量是一定的,记为A。
根据上述背景知识和模型的假设,我们就可以来组建减肥的数学模型。
四、建立模型
建模过程中,我们以一天为时间的计时单位。按照假设3,我们可以在任何一个时间段内考虑由于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化。
按照能量的平衡原理,任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量之差。
在时间段内考虑能量的改变:
体