杨桂通《弹性力学》附录.ppt

附录弹性力学数学基础
目录
附录1 张量基础
附录2 复变函数数学基础
附录3 变分法概要
附录1 张量基础
§i1 张量1
张量特征
笛卡儿张量下标
求和定约
偏导数下标记法
特殊张量
张量——简化缩写记号表达物理量的集合
显著优点——基本方程以及其数学推导简洁
张量的特征
——整体与描述坐标系无关
分量需要通过适当的坐标系定义
笛卡儿(Descartes)张量定义
一般张量——曲线坐标系定义
§i1 张量1
三维Descartes坐标系中,一个含有3个与坐标相关独立变量集合,通常可以用一个下标表示。
位移分量u,v,w
缩写记为ui(i=1, 2, 3)
表示为u1, u2, u3
9个独立变量的集合,两个下标来表示
sij和eij ——9个应力分量或应变分量
sij,k
——27个独立变量的集合用三个下标表示
i——下标
§i1 张量2
求和定约
张量表达式的某一项内的一个下标出现两次,则对此下标从1到3求和。
哑标: 出现两次的下标——求和后消失
自由标:非重复下标
自由标个数表示张量表达式代表的方程数
§i1 张量3
偏导数的下标记法
缩写张量对坐标xi偏导数的表达式
逗号约定逗号后面紧跟一个下标i时,表示某物理量对xi求偏导数。
利用偏导数下标记法,偏导数均可缩写为
§i1 张量4
张量的偏导数集合仍然是张量
证明: ui,j如果作坐标变换
由此可证,ui, j满足二阶张量的变换规律
由于
因此
§i1 张量5
特殊的张量符号
克罗内克尔(Kronecker Delta)记号d ij
显然
克罗内克尔记号是二阶张量
运算规律
§i1 张量6
置换符号eijk
偶排列
有序数组1,2,3逐次对换两个相邻的数字而得到的排列
奇排列
§i1 张量8
二阶对称张量
反对称张量
任意一个二阶张量,总是可以分解为一个对称张量和一个分对称张量之和。
张量的对称和反对称性质,可以推广到二阶以上高阶张量。
§i1 张量9