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计算方法课件第2章线性代数方程组与矩阵.ppt

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第2章线性代数方程组与矩阵
矩阵的几个定义
=
称为矩阵元素,其中i称为元素所在的行标,j称为元素所在的列标。如果m = n ,矩阵称为方阵
一个矩阵的转置是指将原矩阵中的行和列元素进行交换,即
=
对称矩阵是指满足下列条件的方阵
=
如果一个矩阵和它的转置相同但符号相反,则称该矩阵为斜对称矩阵。即
= -
对角矩阵是指只在它的主对角线有非0元素,
=
单位矩阵是指对角线元素为1的对角矩阵。如
=
用单位矩阵乘一个矩阵并不改变该矩阵。如果一个矩阵只在它的主对角线和两条邻近的对角线(称为子对角线和次对角线)有非0元素,其它都为0元素,则称为三对角矩阵。例如
上三角矩阵在主对角线以下都是0元素。如
下三角矩阵在主对角线以上都是0元素。如
方阵主对角线上的元素之和称为迹,用符号tr(或sp)表示,即
tr =
如果矩阵的行列式值非0,则该矩阵是非奇异的,只有非奇异矩阵才有逆矩阵。矩阵与它逆的乘积是单位矩阵,即
=
矩阵的秩是矩阵内最大非奇异子方阵的阶数。换句话说,秩是矩阵线性独立行或列的最大数目
如果矩阵中两行或两列的元素相等,则矩阵的行列式值为0,并且成为奇异。同样,如果两行或列相加(或减)构成另一行或列,则矩阵也成为奇异。
解的唯一性
当且仅当增广矩阵(aug )的秩与系数矩阵( )的秩相同时,方程组= 才有解。如果增广矩阵(aug )的秩与系数矩阵( )的秩相同且等于n(即未知数个数),则解是唯一的;如果它们的秩小于n,则存在无穷多个解。

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