RB2010年高考数学Ι轮精品教案及其练习精析《定积分与微积分 的基本.doc

第4讲定积分与微积分的基本定理
★知识梳理★

1、定积分概念
定积分定义:如果函数在区间上连续,用分点,将区间等分成几个小区间,在每一个小区间上任取一点,作和,当时,上述和无限接近某个常数,这个常数叫做函数在区间上的定积分,记作,即,这里、分别叫做积分的下限与上限,区间叫做积分区间,函数叫做被积函数,叫做积分变量,叫做被积式.
2、定积分性质
(1);
(2)
(3)
3、微积分基本定理
一般地,如果是在上有定义的连续函数,是在上可微,并且,则,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式,为了方便,常常把,记作,即.
4.、常见求定积分的公式
(1) (2)(C为常数)
(3) (4)
(5) (6)
(7)
★重难点突破★
:定积分的计算和简单应用。
:利用定积分求平面区域围成的面积
:掌握定积分的计算,了解定积分的物理意义,会利用定积分求平面区域围成的面积.
(1)弄清定积分与导数之间的关系
,式中为时间t内通过的距离,媒质的阻力与速度的平方成正比(比例常数为),试求物体由运动到时,阻力所做的功.
解析:要求变力所做的功,必须先求出变力对位称的变化函数,这里的变力即媒质阻力,然后根据定积分可求阻力所做之功.
解因为物体的速度
所以媒质阻力
当时,,当时,,
阻力所做功

(2)掌握定积分在求曲边梯形面积的方法.
问题2. 求由抛物线与直线及所围成图形的面积.
y
解析:作出及的图形如右:
6
解方程组得
x
解方程组得
6
2
O
所求图形的面积

★热点考点题型探析★
考点1: 定积分的计算

例1. 求下列定积分
(1) (2) (3)
【解题思路】根据微积分基本定理,只须由求导公式找出导数为,,的函数就可,这就要求基本求导公式非常熟悉.
解:(1)

(2)

(3)
【名师指引】简单的定积分计算只需熟记公式即可.
题型2:换元法求定积分
:
【解题思路】:我们要直接求的原函数比较困难,但我们可以将先变式化为,再求积分,利用上述公式就较容易求得结果,方法简便易行.
解析:

【名师指引】较复杂函数的积分,往往难以直接找到原函数,常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后,再求定积分.
题型3:计算分段函数定积分
例3. 求
【解题思路】:首先是通过绝对值表示的分段函数,同时又是函数复合函数与的运算式,所以我们在计算时必须先把积分区间分段,再换元积分或奏变量完成.
解析:





【名师指引】若被积函数含绝对值,往往化成分段函数分段积分,注意本题中,这实际是一种奏变量的思想,复合函数的积分通常可以奏变量完成,也可以换元完成.
题型4:定积分的逆运算
例4. 已知求函数的最小值.
【解题思路】:这里函数、都是以积分形式给出的,我们可以先用牛顿莱布尼兹公式求出与,再用导数求法求出的最小值.
解析:





当时,最小=1
当时,最小=1
【名师指引】这是一道把积分上限函数、二次函数最值,参数混合在一起综合题,重点是要分清各变量关系.