有趣的数学游戏.docx

实数、超实数和博弈游戏:数学的结构之美
(一)一个博弈游戏
让我们来玩一个游戏。下面有五行石子,白色的石子都是我的,黑色的石子都是你的。我们轮流拿走一个自己的石子,并且规定如果一个石子被拿走了,它后面的所有石子都要被扔掉。谁先没有拿的了,谁就输了。
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○○○○
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比如说,如果你先走的话,你可以把第四行的第三个石子拿走,按规定第四行将会只剩下前面两个石子:
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○○○○
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●
现在轮到我走了。我可以拿走第二行倒数第二个石子,于是整个棋局变成了这样:
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○○○○
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现在,假如说你拿走了第二行中的第一个石子(于是第二行就没了),那么我就赢定了。我可以拿走第一行中的第一个石子,从而让整个棋局只剩下后面三行:
○○○○
●●
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这三行中有四个白石子,有三个黑石子,并且每一行都是同种石子。于是整个局面完全变成了一个拼石子个数的游戏,我只需要一个一个地拿走白色石子,你必然将会率先无路可走。受此启发,我们自然地想到了一种刻画棋局的方式:把每个白色石子记作+1 ,把每个黑色石子记作-1 。于是○○○○+ ●●+ ●= 4 – 2 – 1 = 1 ,结果是一个正数,这就表明该局面下我将必胜,即使此时轮到我先走。
你会发现上面的说法很有道理。毕竟白色的石子越多,对我越有利,给我带来的效用为正;而黑色的石子会减小我获胜的希望,当然应该给它赋上一个负的值。四白三黑算出来的结果为正 1 ,直观意义就是我能以一步的优势获胜。如果棋局是这样:
○○
●●●●
那么○○+ ●●●●= 2 – 4 = -2 ,是一个负数,这就意味着不管谁先走,你都能必胜,因为你能比我多走两步。我们不妨把一个棋局对应的数叫做棋局的“特征值”。特征值为正,就表明不管谁先走我都能必胜;特征值为负,就表明不管谁先走你都能必胜;而特征值的绝对值,则直观地量化了胜负的悬殊。现在,考虑下面这个棋局:
○○
●●
那么○○+ ●●= 2 – 2 = 0 ,这表明此时的情形介于“我必胜”和“你必胜”之间。事实上也是这样——如果我先走你后走,你就赢定了;如果你先走我后走,我就赢定了。这是因为,这个棋局的特征值为 0 ,双方能够走的步数相同,当然谁后走谁就赢定了。
真正有趣的事情出现了。考虑下面的棋局:
○●
它的特征值应该是多少呢?容易看出,它的特征值是一个正数,因为不管谁先走,显然我都能赢。同时,它的特征值也应该比 1 小,因为只有一个○要比○●赢得更爽一些。事实上,单看○●黑方确实无论如何都会输,但在某些场合下, ○后面的这个●能让黑方喘上一口气。比如下面这个棋局:
○●
●
如果我先走,显然你必胜无疑。如果你先走呢?先走的人获胜的难度更大,你可要好好想想策略。你可以拿走那个单独成行的●,但当我拿走○之后,你就得眼睁睁地看着自己剩下的那个●被一并收走。此时,你或许会意识到,你本来还能多走一步的,可惜这一步被浪费掉了。因此,你更好的做法就是,一上来先拿走○后面的●。运用这种策略,显然你也会必胜无疑。可见,不管是我先走还是你先走,整个棋局对于你来说都是必胜的,从而有○●+ ●= ○●– 1 < 0 ,这再次说明了○●是一个小于 1 的数。那么, ○●是否等于 1/2 呢? 答案是肯定的,考虑下面这个棋局:
○●
○●
●
如果我先走,本质上不同的走法只有一种,并且局面将会立即变成刚才那种你必胜的情形,因而你将必胜。如果是你先走呢?拿走那个单独成行的●会让你提前锁定败局,更好的选择则是像刚才一样,先拿走某个○后面的●,为自己多赢得一步。现在,石子只剩下了○●、○、●这么三行。那么,我应该拿走哪一个○呢?拿走那个单独成行的○会让局面再次变回刚才那种你必胜的情形,更好的选择则是拿走后面有●的○,这样我便能让你损失一步。掌握了这个技巧后,我就能做到必胜了。综上所述,整个棋局是一个谁后走谁就赢定了的局面。于是○●+ ○●+ ●= 0,也就是○●+ ○●– 1 = 0 ,可以解得○●等于 1/2 。也就是说,在○●中,我将以半步的优势获胜。对应地, ●○就等于-1/2 ,此时你将以半步的优势获胜。
注意,目前并没有任何理论告诉我们,这么加减是合理的。不过我们却发现,这么加减出来的结果真的是对的。比如说, ○●+ ○●+ ○●+ ●= 1/2 + 1/2 + 1/2 – 1 = 1/2,而棋局
○●
○●
○●
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对于我来说真的就是必胜的局面!
这背后一定有一个更深层次的原因:棋局之间的加减和数与数之间的加减一定存在着某些共通的地方。也就是说,为了解释“为什么棋局的加法和