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-定积分计算.doc§4 定积分计算
(一) 教学目的:掌握微积分学基本定理.
(二) 教学内容:
变上限的定积分;变下限的定积分;微积分学基本定理;积分第二中值定理,换元积分法;分部积分法;泰勒公式的积分型余项.
基本要求:
(1)掌握变限的定积分的概念;掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积分法.
(2) 较高要求:掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项.
(三)教学建议:
(1) 微积分学基本定理是本节的重点,要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与结论.
(2) .
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微积分学基本定理:
1. 变限积分的可微性——微积分学基本定理:
Th 1 ( 微积分学基本定理)若函数则面积函数
在上可导,且=. 即当时, 面积函数可导且在点的导数恰为被积函数在上限的值. 亦即是的一个原函数.
证
系连续函数必有原函数.
2. Newton — Leibniz 公式:
Th 2 ( N — L公式)( 证)
例1 ⅰ> ; ⅱ> ;
例2 .
例3 . ( 与§1 例3 联系)
设但.
证明>0. ( §3 例3对照.)
证明分析: 证明.
设, 只要证明.
为此证明: ⅰ)↗( 只要); ⅱ) 但不是常值函数
(只要), ⅲ) 又. ( 证)
例5 证明( 利用[0,1]上的不等式)

定积分换元法:
Th 3 设函数满足条件:
ⅰ> , 且;
ⅱ> 在上有连续的导函数.
则. ( 证)
例6 . ( [1]P305 E4 )
例7 . ( [1]P305 E5 )
例8 计算. ( [1]P305—306 E6 ) 该例为技巧积分.
例9 . ( [ 4] P216 E63 ) 该例亦为技巧积分.
例10 已知, 求
例11 设函数连续且有求积分

设是区间上连续的奇(或偶函数)函数,则
, ( . )
例13 ..
三. 分部积分公式:
Th 4 ( 分部积分公式)
例14
例15 计算.
解=
;
解得直接求得, .
于是, 当为偶数时, 有
;
当为奇数时, 有.