北京大学数学分析考研试题解答.doc

北京大学2010年数学分析考研试题
用有限覆盖定理证明聚点原理.
是否存在数列,其极限点构成的集合为,说明理由.
设是无穷区间,为上的非多项式连续函数,证明:不存在上一致收敛的多项式序列,其极限函数为.
设在上连续,在内可导,且满足,
求证存在,使得.
(1)设,是有界闭区间,,
证明函数列在上一致收敛.
若,如果是有界开区间,问在上是否一致收敛?
说明理由.
构造上的函数,使其在上间断,其他点连续.(表示有理数)
广义积分与均收敛,证明在上有定义,并且有连续的导函数.
计算曲线积分,其中为与交线,从轴正向看是逆时针.
证明下面的方程在点附近唯一确定了隐函数,,并将在点展开为带皮亚诺型余项的泰勒公式,展开到二阶.
设,是上的非负单调递减连续函数,,试问是否一定发散?说明理由.
北京大学2010年数学分析考研试题解答
解答
用“有限覆盖定理”证明“列紧性定理”.
分析过程: 设是一个有界的数列,我们要证明从中必可选出一个收敛的子列.
因为是一个有界的数列,
可设,;
显然中收敛的子列的极限必属于有限闭区间,也就是说要证明中的存在一点,必是某个子列的极限.
命题:是的某个子列的极限等价于在的任何邻域中必有数列中的无限多项.
命题:不是的任何子列的极限等价于
存在,使得
中至多只含有数列中的有限多项.
证明:用反证法,,于是存在,
使得中至多只含有数列中的有限多项;
显然开区间族
是的一个开覆盖;
根据“有限覆盖定理”,从中必存在有限个开区间就能覆盖;
即,
必有中只含有数列中的有限多项,而它又包含数列的全部项,这与数列是无限多项矛盾.
所以,.
解答不存在,因为极限点的集合为闭集,而为非闭集,因为,而.
3、设实系数多项式序列在上一致收敛于实值函数,证明:也是多项式.
证明因为实系数多项式序列在上一致收敛于实值函数,
所以对任意,存在,使得当时,有,
又因为也是多项式,若不为常数,则当趋于无穷时,也趋于无穷,,其中为一无穷小序列.
由上面结论及是多项式,可知当时,
,
其中为某一固定的多项式,为某一收敛数(因为为柯西列)
因为由已知条件
,
一致收敛于0,及,
所以有,即也是多项式,结论得证.
证明记,
则由积分中值定理,存在,使得
,
由题设条件知,,
由Lagrange中值定理,推得,
存在,使得
,
即.
5、证明(1),是有界闭区间,
不妨设,
取,在上一致连续,

,
,
由在上一致连续,对任意,存在,
当,时,有.
对于上述,存在正整数,当时,
对一切,,有
,且,
从而,
,
即在上一致收敛于.
若,是有界开区间,在上不一定一致收敛.
事实上,我们有例子,
例1 设,,
显然,,,.
但不是一致收敛,这是由于


,.
例2 设,,
,,
, .
在上不一致收敛.
解记,构造,
则当时,,在处连续,