《高等代数(2)》试卷A答案.doc

重庆大学《高等代数(2)》课程试题(A卷)参考答案
2005~2006学年第 2 学期考试时间:2006-6-22
一、完成下列各小题(每小题7分,共28分)
解:原二次型的矩阵是。………………(2分)
要使二次型正定,则必须A的所有顺序主子式大于零,即
,,。……………(3分)
解得。于是当时原二次型正定。……………………………….(2分)
证明:由题意知是的一组基,,是的一组基。……………………….. (2分)
因,故线性无关,从而是的一组基。
因此。…………………………(2分)
, 则由有, 再由有,故,从而。于是,所以。……….. (3分)
解:因为三级方阵有三个不同的特征值,故可对角化,即存在可逆阵,使,于是可逆,且。…………….. (2分)
由的特征值为1,2,3可得的特征值为1,,。……………(2分)
又因为, 而因的特征值为6,3,2。………………….. (3分)
证明: ,下证A。
,因是A的不变子空间,所以A。…………….. (2分)
再由A是对称变换,得A,A。…………………(3分)
所以A,即A,从而是A的不变子空间。…………(2分)
二、证明:设A和B是数域P上任意两个对称矩阵,k,l是数域P上任意两个数。因为
。……………(3分)
于是仍是对称矩阵,从而数域P上对称矩阵全体构成线性空间的一个子空间,因而也是一个线性空间。………………(2分)
令则是对称矩阵。
易证线性无关,且对任意n级对称矩阵,其中,有,故是数域P上全体对称矩阵所成空间的一组基。………………………(3分)
于是该线性空间的维数为。………………(2分)
证明:(1) 当时。
这时。于是对任意的正交矩阵T,都有。………….. (1分)
(2) 当时。
设是的任一特征值,是属于的特征向量,那么,由于,所以,即,由知,从而或,故存在正交阵,使。…………………. (7分)
(3) 当时。
设是的任一特征值,是属于的特征向量。由(2)可知,或。
但A可逆,故。因此存在正交阵,使。……………….(2分)
四、 :设,则,,
即………………………. (2分)
解得一组基础解系:,,于是……(3分)
:设,,。于是
…………………………(2分)
解得
故,其中,。……….. (3分)
五、解:设则
A