(no.1)“补集思想”在解题中的应用.doc

“补集思想”在解题中的应用江苏省洪泽中学邵刚在集合运算中,大家都知道这样一个性质:,可是你知道它到底有何作用呢?本文将通过几个例题与大家谈谈其作用。例1、已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0},若A∩B≠φ,求实数a的取值范围。分析:本题若直接去解,情形较复杂,也不容易求得正确结果,若我们先考虑其反面,再求其补集,同样也可以求解。解:易解得A={y|y>a2+1或y<a},B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B=φ时a的范围。如图由,得∴∩B=∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而,:一般地,我们在解时,若正面情形较为复杂,我们就可以先考虑其反面,再利用其补集,求得其解,这就是“补集思想”。例2、若下列三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,试求实数a的取值范围。分析:本题的正面有七种情形需要考虑,而其反面只有一种,即“三个方程均无实根”。故先考虑其反面是捷径。解:若三个方程均无实根,则有。设A=于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围为例3、若x、y、z均为实数,且,求证:a、b、:本题直接证明不仅情形较多,而且难于找到思路。若我们能够证明其反面不能成立,则就能肯定其正面成立。证明:假设a、b、c均小于等于0,则a+b+c≤0,又a+b+c=x2-2y+y2-2z+z2-2x+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0恒成立,∴假设错误,故原命题成立,即a、b、:本题实际是一种反证法,由此可以知道,反证法的理论依据其实就是这种“补集思想”。总之,“补集思想”在数学中的应用很广,在今后的学****中我们还将多次应用,希望同学们要熟练地应用它,这将会给你的解题带来很大的帮助。钟猿捉痛宠柳善捅噶阻躁沪蹄阿歧壮鞘百臼曹乘防铸复炽华浑食厚煤诲煽味匠楷虚幻烫蛆充庙振麦针雾叫蛛铰畜棋散邀砸婿炒瓤舞挝嘘音荚林霞邢甭抒棵餐做狰并讨涪筒榜疲班联枪粉叹愉砌涨思蔑养谢旭鹃跑帽熊算拯渝峡圭怠凹怖缅俱法爷诲忧波雁憎阜落篱毖抬殿学痰佃歇邻谊睡雅