自动控制 第八章 系统定性分析 1.doc

《自动控制理论》教案 4-1 中国科学技术大学自动化系 2017-2-19 第八章系统的定性性分析定性分析则是研究系统的一般特性。对此我们一点也不觉得陌生,因为在古典控制理论中我们对系统的稳定性这个很重要的一般特性,进行过较多讨论。在现代控制理论中,我们除了进一步讨论系统的稳定性之外,还要涉及一些新的概念,如能达性( Reachability ) 、能观性( Observability ) ;能控性( Controllability ) ,能构性( Constructibility ); 能稳定性( Stabilizability ), 能检测性( Detectability )等等, 对系统的这些特性进行定性分析,对于分析、特别是设计系统有着很重要的实际意义。本章我们先讨论我们较为熟知的稳定性。§ 稳定性分析对任何一个物理系统,都有运动的稳定性的问题。不稳定的系统在实践中是没有用的。所谓运动稳定性理论,就是研究某些确定的或随机的干扰作用对系统运动状态的影响,看其是否能耐受这种干扰的影响以保持预定的工作状态,从而建立一套准则来判别运动状态是稳定的或不稳定的。在进行古典控制理论的学****时,就曾多次讨论过系统的稳定性问题时用劳思(R outh )判据、奈奎斯特( Ny quist )判据来分析线性系统的稳定性,我们已经相当熟练,但若系统是非线性的或是时变的,上述一些稳定性判据就显然有点爱莫能助, 尽 N equist 判据可用于某些特殊类型的非线性系统,但描述函数法对于确定系统的稳定性是近似的,而建立在相平面法基础之上的稳定性分析也只能用于低阶系统。线性系统的响应总可以分解为零状态响应和零输入响应之和****惯上对两种响应的稳定性分别研究。对于零状态响应,我们将介绍 BIBO (B ounded- I nput B ounded- O utp ut , 有界输入有界输出)稳定性;对零输入响应, 我们将介绍限界稳定性和渐近稳定性。我们将主要讨论线性定常的情况。 BIBO 稳定性的概念首先回忆一下线性系统的输入输出时域描述。以单输入单输出的线性定常系统为例,其零状态输出响应可写作?????? ttdtugdutgty 00)()()()()(??????() 其中)(?u 是施加在系统输入端的激励信号, )(?y 是在输入激励下系统输出端的响应信号; )(?g 是系统的脉冲响应函数,对于一般的时变系统,脉冲响应函数是二元函数, ),(?tg 表示τ时刻施加的输入在 t 时刻引起的响应,当系统是定常系统时,脉冲响应函数退化为单变量函数, )(tg 表示初始时刻施加的理想脉冲输入在 t时刻所引起的输出, 而τ时刻施加的输入在 t时刻引起的响应自当记为)(??tg 。当然,这样描述的系统必须是线性的、因果的、初始时刻松弛的。再复****一下函数有界的概念。输入)(tu 称作是有界的是指)(tu 不会发展到正无穷或《自动控制理论》教案 4-2 中国科学技术大学自动化系 2017-2-19 负无穷,或等价地说,存在一个常数 u m使得 0)(?????tutu m 定义 系统称为 BIBO 稳定的(界输入有界输出稳定)是指:系统在每一个有界的输入信号激励下所引起的输出响应都是有界的。该稳定性是定义在零状态响应之上,即仅当系统初始松弛时才能使用。定理 线性定常的单输入单输出( SISO )系统() , BIBO 稳定的充要条件是其脉冲响应函数)(tg 在[0,+ ∞]上绝对可积,即存在某正常数 M,使????? 0)(Mdttg 证明: 首先我们证明:如果)(tg 是绝对可积的,则每一个有界输入都引起有界输出。设)(tu 为一任意有界输入,即对所有 t≥0有??? mutu)( ,则??????????????????? tm m tMudgudtugdtugty 00 0)()()()()()( 所以输出是有界的。下面,我们从直观上来证明,若g(t)不是绝对可积的,则系统就非 BIBO 稳定。若 g(t)不是绝对可积的,则存在 t 1使得????? 0)( tdg 我们选择???????????0)(1 0)(1)( 1g gtu 显然 u是有界的,而由此输入所引起的输出等于???????????? 00 1)()()()( ttdgdtugty 它不是有界的,所以该系统不是 BIBO 稳定的,至此完成了对定理 的证明。[证毕] 还要指出的是:函数绝对可积并不意味着有界,也不意味着当 t→∞时趋于零。 BIBO 稳定性的条件定理 由正则有理传递函数描述的 SISO 系统, BIBO 稳定的充要条件是)( ?sg 的所有极点都具有负实部,或等价地说,位于开左半 s平面。若)(