正则化全参数地确定方法.docx

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Tikhonov指出当数据误差水平5和耳未知时，可根据下面的拟最优准则：
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Tikhonov指出当数据误差水平5和耳未知时，可根据下面的拟最优准则：
1-1)
a=min\ladx^
opta>0Ida
来确定正则参数。其基本思想是：让正则参数a以及正则解对该参数的变化率同时稳定在尽可能小的水平上。

令(I-A(a))y2/m…、
V(a)=5(2-1)
［tr(I-A(a))］2/m
其中，A(a)二A(A*A+aI)-1A*,tr(I-A(a))=工m(1-a(a)),a(a)为A(a)的hhhhk=1kkkk对角元素。这样可以取a*满足V(a*)=minV(a)(2-2)
此法源于统计估计理论中选择最佳模型的PRESS准则，但比它更稳健。

L曲线准则是指以log-log尺度来描述与的曲线对比进而根据该对比结果来确定正则参数的方法。其名称由来是基于上述尺度作图时将出现一个明显的L曲线。
运用L曲线准则的关键是给出L曲线偶角的数学定义进而应用该准则选取参数a。
Hanke等［64建］议定义L曲线的偶角为L曲线在log-log尺度下的最大曲率。令P=log|b-Axa||，9=log］|xa|，则该曲率作为参数a的函数定义为p9”-p'9'
c(a)二(3-1)
((P')2+(9')2)3
其中“'”表示关于a的微分。
［40］中指出:在相当多的情况下丄曲线准则可通过极小化泛函a*
3-2)
0(a)=||xa||||b-Axa||来实现。即，选取a*使得这一准则更便于在数值计算上加以实施。
但到目前为止，还没有相关文献获得过关于L曲线准则的收敛性结果。另一方面,有文献己举反例指出了L曲线准则的不收敛性。虽然如此数值计算的结果表明丄曲线准则与GCV一样,具有很强的适应性。
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定理4-1:(Morozov偏差原理)[13如果°(a)是单值函数，则当p(A,u)>5时存在Uz0这样的a=a(5)，使得:
p(A,u)=5(4-1),
a(5)
式中zg71Q[z]=infQ[y]'。
0YgF]
事实上，令A(a)=0(a)-52，由©