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相关系数的应用
相关系数是表示两个变量(X, Y)之间线性关系密切程度的指标，E是数学期望，COV 表示协方差，和Oy是标准差。当两个变量的标准差都不为零时：
=cou(%,y) = e( x_^x (y-“y )
axay
axa相关系数的应用
相关系数是表示两个变量(X, Y)之间线性关系密切程度的指标，E是数学期望，COV 表示协方差，和Oy是标准差。当两个变量的标准差都不为零时：
=cou(%,y) = e( x_^x (y-“y )
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因为以=E (%)，空=Ex2 _ E2 (x)，同样地，对于y成立，所以p&y可以写成
x ,y
E(xy)_E (x)E (y)
(E(x 2 _E2(x) (E(y 2 _E2(y)
从柯西-施瓦茨不等式可知，相关系数的绝对值不超过1。当两个变量的线性关系增强 时，相关系数趋于1或-1。当一个变量增加而另一变量也增加时，相关系数大于0。当一个 变量的增加而另一变量减少时，相关系数小于0。当两个变量独立时，相关系数为0•但反之 并不成立。这是因为相关系数仅仅反映了两个变量之间是否线性相关。比如说，X是区间 [—1,1]上的一个均匀分布的随机变量。y = x2那么Y是完全由X确定。因此Y和X 是不独立的，或者说他们是不相关的，但是相关系数为0。当Y和X服从联合正态分布时，其 相互独立和不相关是等价的。
对于居中的数据来说(何谓居中？也就是每个数据减去样本均值，居中后它们的平均值 就为0),相关系数可以看作是两个随机变量中得到的样本集向量之间夹角的三角函数。一 些实际工作者更喜欢用非居中的相关系数(与Pearson系数不相兼容)。看下面的例子中有 一个比较。例如，假设五个国家的国民生产总值分别是1、2、3、5、8 (单位10亿美元)， 又假设这五个国家的贫困比例分别是11%、12%、13%、15%、18%。则我们现在有两个有序的 包含 5 个元素的向量 x、y： x = (1, 2, 3, 5, 8)、y = (, , , , ) 使用一般的方法来计算向量间夹角(参考数量积)，未居中的相关性系数如下：
TWOW = °'920814/11'
上面的数据实际上是故意选择了一个完美的线性关系：y = + x。因此皮尔逊相 关系数应该就是1。把数据居中(x中数据减去E(x) =，y中数据减去E(y) =) 后得到：x=(— , —, — 0. 8, , )、y = (- , — , — , , )，由此得到了预期结果：
在概率论计算中的应用
例1•若将一枚硬币抛n次，X表示n次试验中出现正面的次数，Y表示n次试验中出 现反面的次数。计算pXY。
解：由于X+Y=n，则Y=-X+n，根据相关系数的性质推论，得pXY = — 1。
、Y分别服从正态分布N(1，9