动力学建模方法与解法总结.doc

动力学建模方法与解法总结
目录
1 刚体系统....................................................................................... 1
2 弹性系统动力学............................................................................ 6
3 高速旋转体动力学...................................................................... 10
1 刚体系统
一般力学研究的对象,是由两个或两个以上刚体通过铰链等约束联系在一起的力学系统,为一般力学研究对象。自行车、万向支架陀螺仪通常可看成多刚体系统。人体在某种意义上也可简化为一个多刚体系统。现代航天器、机器人、人体和仿生学中关于动物运动规律的研究都提出了多刚体系统的一系列理论模型作为研究对象。多刚体系统按其内部联系的拓扑结构,分为树型和非树型(包含有闭链);按其同外界的联系情况,则有有根和无根之别。利用图论的工具可以一般地分析多刚体系统的构造,建立系统的数学模型和动力学方程组。也可从分析力学中的高斯原理出发,用求极值的优化算法直接求解系统的运动和铰链反力。依照多刚体系统动力学的理论和方法,广泛采用电子计算机对这些模型进行研究,对于精确地掌握这些对象的运动规律是很有价值的。
自由物体的变分运动方程
任意一个刚体构件i,质量为mi,对质心的极转动惯量为Ji',设作用于刚体的所有外力向质心简化后得到外力矢量Fi和力矩ni,若定义刚体连体坐标系x'o'y'的原点o'位于刚体质心,则可根据
牛顿定理导出该刚体带质心坐标的变分运动方程:
' δriT[mi ri-Fi]+δφi[Jiφi-ni]=0 (1-1)
其中,ri为固定于刚体质心的连体坐标系原点o'的代数矢量,φi为连体坐标系相对于全局坐标系的转角,δri与δφi分别为ri与φi的变分。
定义广义坐标:
qi=[riT,φi]T (1-2)
广义:
Qi=[FiT,ni]T (1-3)
及质量矩阵:
Mi=diag(mi,mi,Ji') (1-4)
体坐标系原点固定于刚体质心时用广义力表示的刚体变分运动方程:
1
i-Qi)=0 (1-5) δqiT(Miq
束多体系统的运动方程
考虑由nb个构件组成的机械系统,对每个构件运用式(1-5),组合后可得到系统的变分运动方程为:
∑δq
i=1nbTi i-Qi]=0 (1-6) [Miq
若组合所有构件的广义坐标矢量、质量矩阵及广义力矢量,构造系统的广义坐标矢量、质量矩阵及广义力矢量为:
TTTTq=[q1,q2,...,qnb] (1-7)
M=diag(M1,M2,...,Mnb) (1-8)
TTTTQ=[Q1,Q2,...,Qnb] (1-9)
系统的变分运动方程则可紧凑地写为:
-Q]=0 (1-10) δqT[Mq
对于单个构件,运动方程中的广义力同时包含作用力和约束力,但在一个系统中,若只考虑理想运动副约束,根据牛顿第三定律,可知作用在
系统所有构件上的约束力总虚功为零,若将作用于系统的广义外力表示为:
AQA=[Q1A,Q2A,...,Qnb]T (1-11) TTT
其中:
QiA=[FiA,nA]T,i=1,2,...,nb (1-12) T
则理想约束情况下的系统变分运动方程为:
-QA]=0 (1-13) δqT[Mq
式中虚位移δq与作用在系统上的约束是一致的。
系统运动学约束和驱动约束的组合如式(1-10),为:
Φ(q,t)=0 (1-14)
对其微分得到其变分形式为:
Φqδq=0 (1-15)
2
式(1-13)和(1-15)组成受约束的机械系统的变分运动方程。
为导出约束机械系统变分运动方程易于应用的形式,运用拉格朗日乘子定理对式(1-13)和(1-15)进行处理。
拉格朗日乘子定理:设矢量b∈Rn,矢量x∈Rn,矩阵A∈Rm?n为常数矩阵,如果有:
bTx=0 (1-16)
对于所有满足式(1-84)的x条件都成立。
Ax=0 (1-17)
则存在满足式(1-85)的拉格朗日乘子矢量λ∈Rm。
bTx+λTAx=0 (1-18)
其中x为任意的。
在式(1-13)和(1-15)中,q∈Rn,M∈Rn?n,QA∈Rn,Φq∈Rm?n,运用拉格朗日乘