第6章 几何造型.ppt

目录
教学目标:
总体目标:了解计算机图形的构成与表示方法。
1、掌握曲线曲面的参数表示方法和连续性的基本概念、Bezier曲线的deCasteljau递推算法、Bezier曲线的升阶算法、Bezier曲面的递推算法和B样条基及B样条曲线的DeboorCox递推算法的基本思想。
2、熟悉参数曲面的代数和几何形式、三边Bezier曲面片的基本思想、B样条曲面的定义、Nurbs曲线的定义及齐次坐标表示、线与线求交算法的基本思想。
3、了解B样条曲线的节点插入算法、Nubrs曲线权因子的几何意义、圆锥曲线的Nurbs表示、Nurbs曲面的定义及性质、形体的边界表示模型、线与面及面与面求交的基本思想和实体造型系统的基本功能。
内容简介
几何造型技术是一种研究在计算机中,如何表达物体模型形状的技术。它从诞生到现在,仅仅经历了三十多年的发展历史,由于几何造型技术研究的迅速发展和计算机硬件性能的大幅度提高,已经出现了许多以几何造型作为核心的实用化系统,在航空航天、汽车、造船、机械、建筑和电子等行业得到了广泛的应用。
在几何造型系统中,描述物体的三维模型有三种,即线框模型、表面模型和实体模型。
线框模型是用顶点和棱边来表示物体。由于没有面的信息,不能表示表面含有曲面的物体;不能明确地定义给定点与物体之间的关系(点在物体内部、外部或表面上),所以线框模型不能处理许多重要问题,如不能生成剖切图、消隐图、明暗色彩图,不能用于数控加工等,应用范围受到了很大的限制。
内容简介
表面模型是在线框模型的基础上,增加了物体中面的信息,用面的集合来表示物体,而用环来定义面的边界。表面模型扩大了线框模型的应用范围,能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数控加工等需要。但在该模型中,只有一张张面的信息,物体究竟存在于表面的哪一侧,并没有给出明确的定义,无法计算和分析物体的整体性质,如物体的表面积、体积、重心等,也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互关联的性质,如是否相交等。
实体模型是最高级的三维物体模型,它能完整地表示物体的所有形状信息。可以无歧义地确定一个点是在物体外部、内部或表面上,这种模型能够进一步满足物性计算、有限元分析等应用的要求。
目录
曲线和曲面的基础知识
三次样条曲线
Bezier 曲线与曲面
B样条曲线曲面
NURBS 曲线与曲面
参数曲线和曲面-基础知识
曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示,由于参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点,计算机图形学中通常用参数形式描述曲线、曲面,本小节讨论一些参数曲线和曲面表示的基础知识。
1、显示、隐式和参数表示
曲线和曲面的表示方程有参数表示和非参数表示之分,非参数表示又分为显式表示和隐式表示。
对于一个平面曲线,显式表示一般形式是:y = f(x)。在此方程中,一个x值与一个y值对应,所以显式方程不能表示封闭或多值曲线,例如,不能用显式方程表示一个圆。
如果一个平面曲线方程,表示成 f(x,y)=0 的形式,我们称之为隐式表示。隐式表示的优点是易于判断函数 f(x,y)是否大于、小于或等于零,也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。
参数曲线和曲面-基础知识
对于非参数表示形式方程(无论是显式还是隐式)存在下述问题:
与坐标轴相关;
会出现斜率为无穷大的情形(如垂线);
对于非平面曲线、曲面,难以用常系数的非参数化函数表示;
不便于计算机编程。
在几何造型系统中,曲线曲面方程通常表示成参数的形式,即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。
假定用t表示参数,平面曲线上任一点P可表示为:
P(t)=[x(t), y(t)];
    空间曲线上任一三维点 P 可表示为:
P(t)=[x(t), y(t), z(t)];
参数曲线和曲面-基础知识
最简单的参数曲线是直线段,端点为 P1、P2 的直线段参数方程可表示为:
P( t ) =P1+ ( P2 - P1 ) t ,t∈[0, 1];
圆在计算机图形学中应用十分广泛,其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示:
其参数形式可表示为:
在曲线、曲面的表示上,参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性,主要表现在:
(1)可以满足几何不变性的要求。
(2)有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。
参数曲线和曲面-基础知识
如一条二维三次曲线的显式表示为:
只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为:
有8个系数可用来控制此曲线的形状。
(3)对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换,必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换;而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几