奇偶性和单调性(1).doc

难点7 奇偶性与单调性(一)
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象.
●难点磁场
(★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数,(1)求a的值;(2)证明: f(x)在(0,+∞)上是增函数.
●案例探究
[例1]已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明:
(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.
命题意图:本题主要考查函数的奇偶性、★★★★题目.
知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.
错解分析:本题对思维能力要求较高,如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结果很难获得.
技巧与方法:对于(1),获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键;对于(2),判定的范围是焦点.
证明:(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减.
令0<x1<x2<1,则f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(-x1)=f()
∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴>0,
又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0
∴x2-x1<1-x2x1,
∴0<<1,由题意知f()<0,
即f(x2)<f(x1).
∴f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0.
∴f(x)在(-1,1)上为减函数.
[例2]设函数f(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,
f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1).求a的取值范围,并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.
命题意图:本题主要考查函数奇偶性、★★★★★级题目.
知识依托:逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.
错解分析:逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.
技巧与方法:本题属于知识组合题类,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,通过本题会解组合题类,掌握审题的一般技巧与方法.
解:设0<x1<x2,则-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,
∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1),
∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减.
由f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)得:2a2+a+1>3a2-2a+,得0<a<3.
又a2-3a+1=(a-)2-.
∴函数y=()的单调减区间是[,+∞]
结合0<a<3,得函数y=()的单调递减区间为[,3).
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决方法主要有:
(1)判断函数的奇偶性与单调性
若为具体函数,严格按照定义判断,注意变换中的等价性.
若为抽象函数