历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类.docx

前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)
(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复****高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。)
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题(每小题5分,共20分)
,其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.
解: 令,则,,
(*)
令,则
,,,
,且满足, 则____________.
解: 令,则,
,
解得。因此。
.
解: 因平面的法向量为,而曲面在处的法向量为,故与平行,因此,由,知,
即,又,于是曲面在处的切平面方程是,即曲面平行平面
的切平面方程是。
,其中具有二阶导数,且,则________________.
解: 方程的两边对求导,得
因,故,即,因此
二、(5分)求极限,其中是给定的正整数.
解:因
故
因此
三、(15分)设函数连续,,且,为常数,求并讨论在处的连续性.
解: 由和函数连续知,
因,故,
因此,当时,,故
当时,
,
这表明在处连续.
四、(15分)已知平面区域,为的正向边界,试证:
(1);
(2).
证:因被积函数的偏导数连续在上连续,故由格林公式知
(1)
而关于和是对称的,即知
因此
(2)因
故
由
知
即
五、(10分)已知,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.
解设,,是二阶常系数线性非齐次微分方程
的三个解,则和都是二阶常系数线性齐次微分方程
的解,因此的特征多项式是,而的特征多项式是
因此二阶常系数线性齐次微分方程为,由和
,
知,
二阶常系数线性非齐次微分方程为
六、(10分),,,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
解因抛物线过原点,故,于是
即
而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积
即
令
,
得
即
因此
,,.
七、(15分)已知满足, 且, 求函数项级数之和.
解
,
即
由一阶线性非齐次微分方程公式知
即
因此
由知,,
于是
下面求级数的和:
令
则
即
由一阶线性非齐次微分方程公式知
令,得,因此级数的和
八、(10分)求时, 与等价的无穷大量.
解令,则因当,时,,故
在上严格单调减。因此
即
,
又
,
,
所以,当时, 与等价的无穷大量是。
2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复****高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。)
一、(25分,每小题5分)
(1)设其中求
(2)求。
(3)设,求。
(4)设函数有二阶连续导数,,求。
(5)求直线与直线的距离。
解:(1)=
===
(2)
令x=1/t,则
原式=
(3)
二、(15分)设函数在上具有二阶导数,并且
且存在一点,使得。
证明:方程在恰有两个实根。
解: 二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为f(x)有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值。
将f(x)二阶泰勒展开:
因为二阶倒数大于0,所以
,
证明完成。