历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类.docx

前三届高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复****高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009 年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 计算??????? yxyx x yyx Ddd1 )1 ln( )( ____________ , 其中区域 D 由直线 1??yx :令vxuyx???, ,则vuyvx???, ,vuvuyxdddd11 10 det dd???????????,vuu vuuuyxyx x yyx D Ddd1 ln lndd1 )1 ln( )( ???????????????????????? 10 2 1000d1 ) ln(1 ln d)d ln1 d1 ln(uu uuuuu uu uvvu uvu uu uu??? 10 2d1 uu u (*) 令ut??1 ,则 21tu?? dt2dtu??,42221ttu???,)1 )(1()1( 2tttuu????,????? 01 42d)21(2 (*)ttt???? 10 42d)21(2ttt15 16 5 13 22 10 53??????????ttt 2 .设)(xf 是连续函数,且满足???? 20 22d)(3)(xxfxxf ,则?)(xf ____________. 解:令?? 20d)(xxfA ,则23)( 2???Axxf ,AAxAxA24)2(28d)23( 20 2?????????, 解得3 4?A 。因此 3 10 3)( 2??xxf 。 3 .曲面 22 2 2???y xz 平行平面 022???zyx 的切平面方程是__________. 解: 因平面 022???zyx 的法向量为)1,2,2(?,而曲面 22 2 2???y xz 在),( 00yx 处 的法向量为)1 ),,( ),,(( 0000?yxzyxz yx , 故)1 ),,( ),,(( 0000?yxzyxz yx 与)1,2,2(?平行,因此,由 xz x?,yz y2?知 0000002),(2,),(2yyxzxyxz yx????, 即1,2 00??yx ,又5)1,2(),( 00??zyxz ,于是曲面 022???zyx 在)),(,,( 0000yxzyx 处的切平面方程是 0)5()1(2)2(2??????zyx ,即曲面 22 2 2???y xz 平行平面 022???zyx 的切平面方程是 0122????zyx 。 4 .设函数)(xyy?由方程 29 ln )(yyfe xe?确定,其中 f 具有二阶导数,且 1??f ,则? 2 2d dx y ________________. 解: 方程 29 ln )(yyfe xe?的两边对 x 求导,得 29 ln)( )()(yeeyyfxe yyfyf?????因)( 29 ln yfy xe e?,故yyyfx ?????)( 1 ,即))(1( 1yfx y????,因此 2 22 2 )](1[ )( ))(1( 1d dyfx yyfyfx yx y????????????? 32 2 232 )](1[ )](1[)( ))(1( 1 )](1[ )(yfx yfyfyfxyfx yf????????????????二、(5 分)求极限 x e nx xxxn eee)( lim 20?????,其中 n 是给定的正整数. 解:因x e nx xxx x e nx xxxn neeen eee)1( lim )( lim 20 20?????????????故nx neeee x en neeeA nx xxx nx xxx?????????????? 20 20 lim lime nn nen ne eee nx xxx2 1212 lim 20?????????????因此e nAx e nx xxxeen eee 2 1 20)( lim ????????三、( 15分) 设函数)(xf 连续,?? 10d)()(t xtfxg ,且Ax xf x??)( lim 0 ,A 为常数,求)(xg ?并讨论)(xg ?在0?x 处的连续性. 解:由Ax xf x??)( lim 0 和函数)(xf 连续知, 0 )( lim lim )( lim )0( 000??????x xfxxff xxx 因?? 10d)()(t xtfxg ,故0)0(d)0()0( 10???? ftfg , 因此,当 0?x 时,?? xuufx xg 0d)( 1)( ,故0)0(1 )( lim d)( l