历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类.docx

肅前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)螅(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复****高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。)蚃2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷芀一、填空题(每小题5分,共20分)***,:令,则,,肂螇芈(*)芆令,则蒁,,,,且满足,:令,则,芈,肇解得。因此。:因平面的法向量为,而曲面在处的法向量为,故与平行,因此,由,知,羈即,又,于是曲面在处的切平面方程是,即曲面平行平面膈的切平面方程是。,其中具有二阶导数,且,:方程的两边对求导,得螈羆因,故,即,因此羃蒃葿二、(5分)求极限,:因莅袂故艿螄蒄因此芁罿三、(15分)设函数连续,,且,为常数,:由和函数连续知,薂因,故,螁因此,当时,,故螀袇当时,羅,、(15分)已知平面区域,为的正向边界,试证:膁(1);螆(2).蒅证:因被积函数的偏导数连续在上连续,故由格林公式知芃(1)蚇袇薄蚂蒇而关于和是对称的,即知蚅蚂因此膂膈(2)因蚆肄故薁羈由螇膃知羀蚈薅蒅即莀五、(10分)已知,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,,,是二阶常系数线性非齐次微分方程薆蚄的三个解,则和都是二阶常系数线性齐次微分方程肃腿的解,因此的特征多项式是,而的特征多项式是蚇螂因此二阶常系数线性齐次微分方程为,由和薃,袀知,蒅肄二阶常系数线性非齐次微分方程为羂蚀蒆六、(10分),,,,故,于是莁莀即薈薅而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积螁膁莅蚃即芀薇令蒆,袂得虿莇即蒈膄莃因此肈,,.芅节七、(15分)已知满足,且,,莆即蚅膂由一阶线性非齐次微分方程公式知蕿莈即螃蚁因此荿膅由知,,膆于是肀聿下面求级数的和:芇令芄蒀则螀莈即莂膃由一阶线性非齐次微分方程公式知薀肅令,得,因此级数的和螅蚃八、(10分)求时,,则因当,时,,故***在上严格单调减。因此袃肂即螇,芈又芆,蒁薇,肅所以,当时,与等价的无穷大量是。莄袁2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷芈(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复****高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。)肇蒂一、(25分,每小题5分)