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解决排列问题的常用方法
复****引入:
①什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列?
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. 用符号表示
②什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数?
③排列数的两个公式是什么?
(n,m∈N*,m≤n)
(一)特殊元素的“优先安排法”
对于特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其他元素。
[例1]用0,1,2,3,4这五个数,组成没有重复数字
的三位数,其中偶数共有( )

分析:由于该三位数是偶数,所以末尾数字必须是偶数, 又因为0不能排首位,故0就是其中的“特殊”元素,应优先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类;
0排在末尾时,有个
0不排在末尾时,有个
由分类计数原理,共有偶数30个.
例2:(1)7位同学站成一排,共有多少种不同的排法?
分析:问题可以看作7个元素的全排列.
(2) 7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法?
分析:根据分步计数原理
(3) 7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?
分析:可看作甲固定,其余全排列
(4) 7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?
解:将问题分步
第一步:甲乙站两端有种
第二步:其余5名同学全排列有种
答:共有2400种不同的排列方法。
单三步
(5) 7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?
解法一:(特殊位置法)
第一步:从其余5位同学中找2人站排头和排尾,有种;
第二步:剩下的全排列,有种;
答:共有2400种不同的排列方法。
单三步
解法二:(特殊元素法)
第一步:将甲乙安排在除排头和排尾的5个位置中的两个位置上,有种;
第二步:其余同学全排列,有种;
答:共有2400种不同的排列方法。
(5) 7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?
单三步
解法三:(排除法)
先全排列有种,其中甲或乙站排头有种,
甲或乙站排尾的有种,甲乙分别站在排头和
排尾的有种.
答:共有2400种不同的排列方法。
(5) 7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?
单三步
(二)总体淘汰法
对于含有否定词语的问题,还可以从总体中把不符合要求的除去,此时应注意即不能多减又不能少减,例如在例1中,也可以用此方法解答。五个数组成三位数的全排列有个,排好后发现0不能排在首位,而且3,1不能排在末尾,这两种不合条件的排法要除去,故有30个偶数。
(三)合理分类和准确分步
解含有约束条件的排列组合问题,应按元素的性质进行分类,事情的发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。
,其中甲不站排头,乙不站第二个位置,那么不同的站法有( )

分析:由题意,可先安排甲,并按其进行分类讨论:
若甲在第二个位置上,则剩下的四人可自由安排,有种方法.
若甲在第三或第四个位置上,则根据分布计数原理,不同的站法有种站法。
再根据分类计数原理,不同的站法共有