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第 14 卷第 4 期高等数学研究 Vo l. 14, N o. 4
2011 年 7 月 ST U DIES IN COL L EG E M A T H EM AT ICS Jul. , 2011
全概率公式的推广与应用
唐旭晖, 李冱岸, 段利霞
(北方工业大学理学院, 北京 100144)
摘要
认为全概率公式成立的条件
事件组须为样本空间的划分
可以减弱, 给出全概率公式在有限事件
组情形和无限可列事件组情形下的两种推广形式, 由此对贝叶斯公式进行两种相应推广, 并通过实例展示全概率
公式在敏感性调查中的应用.
关键词
全概率公式; 贝叶斯公式; 敏感性调查
中图分类号
O 211 文献标识码
A 文章编号
1008- 1399( 2011) 04- 0051- 02
n
全概率公式是概率论中的一个重要的基本公 n
P ( B) = P {
( BA i ) } = P( BA i ) =
i = 1
式. 利用全概率公式, 可以将复杂事件的概率计算问 i
= 1
题转化为计算若干情形下该事件的条件概率以及这 n
P ( B | A i ) P ( A i ) .
些情形事件发生的概率. i
= 1
[ 1] 22
定理设事件 1 2 n 两两互不相
全概率公式
设 n 个事件 A 1 , A 2 ,
, A n 构 2
A , A ,
, A ,
成样本空间
的一个划分, B 是一个随机事件. 则容, 事件 B 满足

i
当 P ( A ) > 0( i = 1, 2,
, n) 时, 有 B
A n ,
n n= 1
P( B ) = P( B | A i ) P ( A i ) . ( 1) 则当 P ( A n ) > 0( n = 1, 2,
) 时, 有
i
= 1
上面的公式中, 事件 A 1 , A 2 ,
, A n 构成样本空 P ( B) =
P( B | A n ) P( A n ) .
间的一个划分即满足下面两个条件 n= 1

, : 证明
因为
(
)
A 1 , A 2 ,
, A n 两两互不相容;
B
A n ,
(
)
A 1
A 2
A n =
. n= 1
文[ 2] 785 将条件(
) 减弱为所以

P( A 1
A 2
A n ) = 1,
B = B(
A n ) =
( BA n ) .
得到了全概率公式的一种推广形式. n= 1 n= 1
又 BA 1 , BA 2 ,
, BA n ,
两两互不相容, 根据概率
本文将给出全概率公式的另两种推广情形, 并
的可列可加性及乘法公式即得
在此基础上, 给出贝叶斯公式的两种推广.

定理 1
设事件 A 1 , A 2 ,
, A n 两两互不相容, P ( B) = P{
( BA n ) } = P ( BA n ) =
n= 1
n
= 1
事件 B 满足
B
A 1
A 2
A n , P ( B | A n ) P ( A n