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文档介绍
§ 厄密算符本征函数的正交性
一、属于动量算符不同本征值得两
个本征函数和互相正交:
引入函数的标积:
则(1),(2)两式可以简化记为:
当
动量算符是厄密算符,量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本征值是实数。以上正交性仅是厄密算符本征函数正交性的一个特例
二、定理:属于厄密算符不同本征值的两个本征函数互相正交。
证:
又(厄密的本征值为实数)
(1)式右乘,积分:
简记:
(2)式左乘:
简记:
根据厄密算符的定义
简记:
联立(4)、(5)即: 简记:
(6)式移项:
简写:
而,必有
简写:
或表示为:
其中kronk 符号
如果的本征值不分立,而是构成连续谱。则本征函数可以归化为函数:
例如动量算符本征函数
:无限深市阱
能量本征函数
是体系属于的能量算符的本征值的本征函数, 对不同的值(能级)正交:
其中:
证:
积化和差
3.
是的本征值的本征函数的正交性
三、正交归一函数的例子(厄密算符本征函数互相正交)
1)线性谐振子
,本征值
,属于本征值:
2)一维势阱
(20)缔结legendre函数正交性:
而球谐函数:
,算符:
n不同:
三个量子数均不同:
四、简并态函数的正交性
当的本征值是度简并:
一般而言不正交,但可用个常数将个函数重新组合成个新函数:
一、属于动量算符不同本征值得两
个本征函数和互相正交:
引入函数的标积:
则(1),(2)两式可以简化记为:
当
动量算符是厄密算符,量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本征值是实数。以上正交性仅是厄密算符本征函数正交性的一个特例
二、定理:属于厄密算符不同本征值的两个本征函数互相正交。
证:
又(厄密的本征值为实数)
(1)式右乘,积分:
简记:
(2)式左乘:
简记:
根据厄密算符的定义
简记:
联立(4)、(5)即: 简记:
(6)式移项:
简写:
而,必有
简写:
或表示为:
其中kronk 符号
如果的本征值不分立,而是构成连续谱。则本征函数可以归化为函数:
例如动量算符本征函数
:无限深市阱
能量本征函数
是体系属于的能量算符的本征值的本征函数, 对不同的值(能级)正交:
其中:
证:
积化和差
3.
是的本征值的本征函数的正交性
三、正交归一函数的例子(厄密算符本征函数互相正交)
1)线性谐振子
,本征值
,属于本征值:
2)一维势阱
(20)缔结legendre函数正交性:
而球谐函数:
,算符:
n不同:
三个量子数均不同:
四、简并态函数的正交性
当的本征值是度简并:
一般而言不正交,但可用个常数将个函数重新组合成个新函数:
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