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抽象代数不抽象
说起代数,大家并不陌生。当年念中学时就见过,也不抽象,不就是用字母代替数字来做事情嘛! 开始时, 那些英文字母a,b,c 和x,y,z, 看起来有点别扭,可用****惯了,还挺亲切的呢。到了大学,学了高等代数和近世代数,才知道,天还很大,地也很阔。原来在中学里可以运算的东西,在很多对象上也能进行;挺有趣的。在代数学中, 常常是将这些共同的性质,抽象出来,作为公理和定律的。比如, 2乘3等于3乘2,用字母来写就是 ab = ba, 在近世代数里叫它为“交换律”。满足交换律的代数对象,身边的就有不少;不过,还有好多其他的规律呢, 挺好玩的。想要知道更多、更有趣的东西, 那就得再学点《抽象代数》、等等。
《抽象代数》不抽象,这是为何?首先,“抽象”的意思并不是通常人们所理解的抽象,即“具体”的反义词。其实这里的抽象代表的是将研究对象的本质抽炼出来,加以高度概括,来描述其形象。举个例子来说吧,整数有很多性质,其中这整数的带余除法大家都知道: 两个整数a和b, 如果b不为零,一定有一个整数q和一个非负整数r使得 a= qb + r, 其中0≤r < |b| . 可当你学了实数域上的多项式后,你会发现,这个规则,对于多项式也是对的。于是,人们为了将这样一大类的研究对象来统一处理,就引入了“欧氏环”这个概念,并将上面的这一条作为它的公理。这样一来,你就可以象在整数环上一样,做欧氏环的除法、因子分解, 等等。许多的定理和结论,你也不必分别对整数、多项式等来一一验证,只要能知道它是欧氏环,那么相应的结论都对,真是省力又省时。再如,你知道,怎样从整数来做分数,这个办法在抽象代数里,通过提取最核心的东西,可以在任意的交换环上来做,即也有“分数”这个概念。这两个简单的例子说明,抽象代数也是具体的,并非不可琢磨。相反,这“抽象”概括的能力却是人人应该具备的。
可不是嘛?! 当你求职面试或做其它事务时, 可能要面对一大堆的信息和资料, 你无法全都记住它们。也许, 你会用现代的掌上电子设备将所有信息保存下来, 但你总不能当着老板的面, 拿出微型电子笔记本, 边看边谈话吧! 所以, 你就得抽象概括这些信息的要害, 总结出几条。只要掌握住这几条, 其它的就可以临场发挥了。从抽象代数的角度来看, 就是说,你得抽象出“公理”,以此为基点,进行运作。这就是通常人们所说的,你得有会抓住主要问题的能力。
如果你上研究生, 读更深的抽象代数, 你会发现, 许多的概念都来自现实生活, 一个典型的例子就是“路代数”,