抽象代数.doc

一、课程目的与教学基本要求本课程是在学生已学****大学一年级“几何与代数”必修课的基础上,进一步学****群、环、域三个基本的抽象的代数结构。要求学生牢固掌握关于这三种抽象的代数结构的基本事实、结果、例子。对这三种代数结构在别的相关学科,如数论、物理学等的应用有一般了解。二、课程内容第1章准备知识(ThingsFamiliarandLessFamiliar)10课时复****集合论、集合间映射及数学归纳法知识,通过学****集合间映射为继续学****群论打基础。1、几个注记(AFewPreliminaryRemarks)2、集论(SetTheory)3、映射(Mappings)4、A(S)(TheSetof1-1MappingsofSontoItself)5、整数(TheIntegers)6、数学归纳法(MathematicalInduction)7、plexNumbers)第2章群(Groups)22课时建立关于群、子群、商群及直积的基本概念及基本性质;通过实例帮助建立抽象概念,掌握群同态定理及其应用;了解有限阿贝尔群的结构。1、群的定义和例子(DefinitionsandExamplesofGroups)2、一些简单注记(SomeSimpleRemarks)3、子群(Subgroups)4、拉格朗日定理(Lagrange’sTheorem)5、同态与正规子群(HomomorphismsandNormalSubgroups)6、商群(roups)7、同态定理(TheHomomorphismTheorems)8、柯西定理(Cauchy’sTheorem)9、直积(DirectProducts)10、有限阿贝尔群(FiniteAbelianGroups)(选讲)11、共轭与西罗定理(ConjugacyandSylow’sTheorem)(选讲)第3章对称群(TheSymmetricGroup)8课时掌握对称群的结构定理,了解单群的概念及例子。1、预备知识(Preliminaries)2、循环分解(position)3、奇偶置换(OddandEvenPermutations)第4章环论(RingTheory)20课时建立环、环直和、素理想与极大理想、同态及商环的基本概念及基本性质;掌握环同态定理及多项式环及其结构定理;了解主理想整环、欧几里德整环的基本要领及例子。1、定义与例子(DefinitionsandExamples)2、一些简单结果(SomeSimpleResults)3、理想,同态与商环(Ideals,Homomorphisms,andQuotientRings)4、极大理想(MaximalIdeals)5、多项式环(PolynomialRings)6、有理数域上的多项式(PolynimialovertheRationals)7、整环的商域(FieldofQuotientsofanintegralDomain)第5章域(Fields)12课时掌握域的基本概念及其基本性质、域扩张、有限扩张、多项式的根及代数闭域的基本概念及基本事实。1、域的例子(ExamplesofFields)2、向量空间复****ABriefExcursionintoVectorSpaces)3、域扩张(FieldExtensions)4、有限扩张(FiniteExtensions)5、可构造性(Const