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直线方程
直线倾斜角与斜率问题
(1)直线的倾斜角的范围。
(2)线段的端点和的坐标分别是和,若直线:与线段相交,则求实数的取值范围。
直线方程问题
例2、已知过点的直线,使它被两已知直线与所截得的线段平分于,求此直线方程。
例3、直线经过点并与轴,轴的正方向交于两点,若要使面积最小,求直线的方程。
例4、已知集合与满足,求实数的值。
解析几何最值问题(一)
利用对称性求最值
例1(1)点,P是直线:上一动点,求最小值。
(2)点,点是直线:上一动点,求最大值。
例2、已知点及直线,为轴上的动点,为上的动点,求的周长的最小值。
例3、在直线上取一点,过且以椭圆的焦点为焦点作椭圆,问点在何处,所作的椭圆的长轴最短,并求此椭圆的方程。
数形结合求最值
例4、(1)已知对于圆上任一点,不等式恒成立,求实数的取值范围。
(2)设点,是圆上任一点,求的取值范围。
利用位置关系求最值
例5:求在椭圆上到直线距离最短的点的坐标及最短距离。
解析几何最值问题(二)
常规的计算方法
例1、已知圆,点是圆上的动点,求的最小值及点的坐标。
例2、已知椭圆和点,过原点的直线交椭圆于点,求面积的最大值.
例3、点分别是椭圆长轴的左、右端点,点是椭圆的右焦点,点在椭圆上,且位于轴上方,。
(1)求点的坐标;
(2)设是椭圆长轴上的一点,到直线的距离等于,求椭圆上的点到点的距离的最小值。
例4、若,直线:,圆
(1)若动点到点的距离比它到直线的距离小1,试求点的轨迹的方程
(2)过轨迹上一点作圆的切线,切点为,要使四边形的面积最小,求点坐标及的最小值。
例5、已知为椭圆的任一点,为圆上任一点,求的最小值。
二次曲线定义及性质的应用
例1、(1)设为抛物线的焦点,点为抛物线上一动点,点,设,当取最小值时,求点的坐标。
(2)设长为的线段的两端点在抛物线上移动,求中点到轴距离的最小值
例2、已知定点,点为椭圆的右焦点,点在椭圆上移动时,求
的最大值和最小值,并求此时点的坐标。
例3、(1)过等轴双曲线上一点P作一条渐近线的垂线,垂足为A,求的面积。
(2)证明:等轴双曲线上任一点到对称中心的距离,是它到两焦点距离的等比中项。
例4、已知点是抛物线上的顶点,为这抛物线互相垂直的两条动弦,求证:
(1)两点的横坐标之积,纵坐标之积,分别为定值。
(2)直线必过一定点。
(3)求在线段上的射影的轨迹方程。
焦半径与焦点三角形性质
(1)是上的一点,为焦点,若,求
(2)是上的一点,为焦点,若,求S
(1)椭圆为椭圆上一点,为焦点,在____________时最大。
(2)椭圆的焦点为,点为其上的动点,当为钝角时,点横坐标的取值范围是______________.
例3、(1)设为双曲线=1上任一点,为双曲线的右焦点,分别以和双曲线实轴为直径作圆,求证:两圆相切。
(2)设是椭圆上的一点,以为右焦点,分别以线段和长轴为直径作圆,证明两圆相切。
(3)设为抛物线上任一点,求证以为直径的圆与轴相切。
例4、过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,求证:
(1) (2)
(3)过焦点的弦的倾斜角为,求证:
(4) =
曲线轨迹方程的求法
待定系数法求曲线方程
例1、设圆满足:(1) 截轴所得弦长为2,(2)被轴分成两段弧,其弧长的比为3:1,
在满足(1),(2)的所有圆中,求圆心到直线:的距离最小的圆的方程。
直接法
例2、(设,为两定点,动点到点的距离与到点的距离的比为定值,求点的轨迹方程,并讨论在什么条件下,该轨迹是直线?
相关点代入法
例3、已知点是圆上一动点,定点(1)求线段中点的轨迹方程。(2)设
的平分线交于,求点的轨迹方程。
定义法
例4、(1)已知动圆过定点并且在定圆的内部与其相内切,求动圆圆心的轨迹方程。
(2)已知圆的圆心为,圆的圆心为,一动圆与这两个圆都外切,求动圆圆心轨迹。
例5、已知圆的方程,为圆上任一点,线段的垂直平分线交于点,求点的轨迹方程。
直线与二次曲线(位置关系)
例1、(1)过圆外一点作圆的切线,则切线方程为_____________。
(2)过圆外一点作圆的切线,交圆于两点,则直线的方程为_____________。
例2、直线按向量平移后得到直线,且与圆相切,求实数的值。
例3、已知抛物线的焦点,是抛物线上横坐标为,且位于轴上方
的点,到抛物线准线的距离等于,过作垂直于轴,垂足为,中点为
(1)求抛物线的方程;
(2)过作,垂足为,求点的坐标;
(3) 以为圆心,为半径作圆,当是轴上的动点时,讨论直线与圆的位置关系。
圆中的弦长问题
例4、已知圆的方程为,直线的方程为,