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第十二讲合同变换与二次型的标准化
教学目的:
1. 介绍合同变换:另一种对角化途径,只用于对称阵;
2. 对“可逆的矩阵变换”做个小结。
3. 介绍二次型及其矩阵形式;
4. 介绍二次型标准化的概念:与合同变换的关系。
教学内容:
第六章:§ 合同变换;
第七章:§ 二次型及其标准形;
§ 二次型的标准化;
教案提纲:
§ 合同变换
一、合同变换:
1. 概念:(又一种特殊形式的初等变换)
2. 合同变换的性质:
二、合同变换的实施:“对称初等变换”
,。
三、合同标准形:
1. 规范形(合同标准形);;
2. 惯性指数:惯性定理()→;
正交变换:既是相似变换,也是合同变换,更是初等变换。
小结:四个矩阵变换的比较:
第七章二次型
§ 二次型及其标准形
二次型:
1. 二次型的概念:(从一般的二元二次方程引入)
:两种写法:()式、()式,系数的对称性设定;
2. 二次型的矩阵形式:与实对称阵的一一对应,“二次型的秩”。
(举例、练****学会函数形式与矩阵形式的互化)。
二次型的标准形:
标准形(法式)的概念:
由二次曲面的标准方程引入,;
¯ 与对角阵的对应;
2. 标准化:与合同变换的对应。
,使
找可逆阵,使为对角阵
§ 二次型的标准化
一、正交变换法:
¯ 理论上没有新内容,用示例讲清实施步骤:
二次型→→求特征值→求正交的特征向量组(Schmidt正交化法或添方程法)→分别单位化→构成正交变换阵→验证→得到标准形(是唯一确定的)。
例:,
,特征值,进而得特征向量,它们已经互相正交,单位化后即得到正交阵。可对它作两方面验证:一方面,
;另一方面,将相应的变换,即代入原二次型,得
;
易见两者的一致性。
作业::20(1、4); :56;
:1(3、4)、2(3、4)、
备例