第2部分第3章 节 空间群(一) 群论讲义ppt.ppt

第二部分群论应用
第三章空间群(1)
(一) 广义空间群 2
一, 转动平移算符{ | t } ( 由此构成广义空间群)
坐标变换: x’= R11 x + R12 y + R13 z + t1
y’= R21 x + R22 y + R23 z + t2
z’= R31 x + R32 y + R33 z + t3
r ’=  r + t
令{ | t } r =  r + t = r ’-------------------- (1)
二, { | t } r 的性质
(1) 不变操作{ | 0 }
{ | 0 } ( 纯转动操作) , { | t } ( 纯平移操作)
(2) 乘积关系( 和封闭性)
{ | t } { | t ’} = { |  t ’+ t } ------------- (2)
证: 令 r ’= { | t ’} r =  r + t ’
则 r ”= { | t } r ’= { | t } { | t ’} r
又 r ”=  r ’+ t = (  r + t ’) + t =  r +  t ’+ t
= { |  t’+ t } r 得证[ 提问: 满足封闭性吗? ] *
(3) 逆操作 3
{ | t } -1 = { -1 | - -1 t } --------------------- (3)
证: 设{ | t ’} = { | t } -1
则{ | t’} { | t } = { |  t + t ’} = { | 0 }
因此= 
 t + t ’= 0
则= -1
t ’= -  t = - -1 t
故得{ | t ’} = { -1 | - -1 t } , (3)式得证
三, { | t } 构成群
(1) { | 0 } ( 纯转动操作) 构成群
辏力场中, 为完全转动群;
晶体场中, 为晶体点群( 32个) *
(2) { | t } 构成群( 纯平移群) , 且为{ | t } 的不变子群 4
证: {| t’} {| t } {| t’}-1 = {| t’}{| t }{-1| --1 t’}
= {| t’}{-1| - -1t’+ t } = { | - -1 t’+  t + t ’}
= { |  t } = { | t ”} ( 令 t ”=  t )
仍为平移群, 故平移群{ | t } 为{ | t } 的不变子群
(3) { | t } 构成群
不变元素, 封闭性和逆元前面都已论述过四, { | t } 可变换成{ | t P }
令 t = t P + t 0 --------------------------------------- (1)
其中, t P = t P ( ) 为沿转轴 P 的平移
t 0 为垂直于转轴 P 的平移*
证: 设 r ’= { | t } r 5
作如下坐标变换( -b ) : r  s 为 s = r - b
r ’ s ’为 s ’= r ’- b
希望使 s ’= { | t P } s ---------------------------- (2)
因为 s ’= r ’- b = { | t } r - b
= { | t } ( s + b ) - b = ( s + b ) + t - b
=  s +  b + t - b
则 s ’=  s + ( - ) b + t P + t o --------------- (3)
因为 t P 为沿转轴的平移
故 b • t P = b • t P [ 提问: 为什么? ]
则(- ) b • t P = 0 [答案: b 和b 在 tP 上的投影相同]
即( - ) b  t P
因此可选择 b , 以满足( - ) b = - t o ------------ (4)
将(4)代入(3)得(2) s ’=  s + t P = { | t P } s , 则目的达到*
(2) 只能是绕某轴转 60o 和 90o 整数倍的正当和非正当转动. 8
由性质(1)知,  R n 也是格矢, 故的转角为60o, 90o , 120o
和 180o, 这前面已证明过.
(3) 若空间群中有两个具相同转动的操作{ | t 1 }和{ | t 2 },