大数定律.ppt

研究大量的随机现象,常常采用极限形式,由此导致对极限定理进行研究。极限定理的内容很广泛,其中最重要的有两种:
与
大数定律
中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科,随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来。也就是说,要从随机现象中去寻求必然的法则,应该研究大量随机现象。
大量的随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景:
大量抛掷硬币
正面出现频率
字母使用频率
切比雪夫不等式与大数定律
一、切比雪夫不等式
设随机变量X有期望E(X)和方差,则对于
任给>0,
或
由切比雪夫不等式可以看出,若越小,则事件{|X-E(X)|< }的概率越大,即随机变量X集中在期望附近的可能性越大
由此可体会方差的概率意义:
它刻划了随机变量取值的离散程度
证明见教材
如取
可见,对任给的分布,只要期望和方差
存在,则 X取值偏离E(X)超过 3 。
X与它的期望的偏差不小于的概率的估计式,或者说它给出了X与它的期望的偏差小于的概率的下界,它适用于方差和数学期望存在的一切随机变量,适用范围很广,对于理论研究很有用。
例已知正常男性***血液中,每一毫升白细胞数平均是7300,均方差是700。利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率。
解:设每毫升白细胞数为X
依题意,E(X)=7300, D(X)=7002
所求为 P(5200 X 9400)
P(5200 X 9400)
=P(5200-7300 X-7300 9400-7300)
= P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)| 2100}
由切比雪夫不等式
P{ |X-E(X)| 2100}
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9 。
例在每次试验中,事件A发生的概率为 , 利用切比雪夫不等式求:n需要多么大时,才能使得在n次独立重复试验中, ~?
解:设X为n 次试验中,事件A出现的次数,
E(X)=,
的最小的n。
则 X~B(n, )
所求为满足
D(X)=*=
=P(-<X-< )
= P{ |X-E(X)| <}
P(< X< )
可改写为
在切比雪夫不等式中取
n,则
= P{ |X-E(X)| <}
解得
依题意,取
即n 取18750时,可以使得在n次独立重复
试验中, ~
。
二、几个常见的大数定律
定理1(切比雪夫大数定律)
设 X1,X2, …是相互独立的随机变量序列,它们都有有限的方差,并且方差有共同的上界,即 D(Xi) ≤K,i=1,2, …,
则对任意的ε>0,