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第五章极限定理
一、大数定律
二、中心极限定理
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大数定律和中心极限定理就是使用极限方法研究大量随机现象统计规律性的。
阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一
系列定律都称为大数定律。
论证随机变量(试验结果)之和渐进服从某一
分布的定理称为中心极限定理。
本章概述
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§ 大数定律
一、切比雪夫不等式
(ε是任一正数)
1. 对于任何具有有限方差的随机变量 X ,都有
则
证明:(以连续型随机变量为例)设X的概率密度为f(x),
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2. 不等式的等价形式
例1. 估计
的概率.
解:
作用:(1)证明大数定律;(2)估计事件的概率。
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,,进行1000次独立试验,估计 A 发生 400~600 次之间的概率。
解:因 X ~B(1000,),E(X)=500,D(X)=250
所以 P{ 400 < X < 600 } = P{ | X-500 | < 100 }
e
2
)
(
1
}
|
)
(
{|
e
X
D
X
E
X
P
-
≥
<
-
由
得,P{ | X-500 | < 100 }
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例3. 设电站供电网有10000盏电灯,夜晚每盏灯开灯的概率均
,假定灯的开、关是相互立的,使用切贝雪夫不等式估计
夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率。
解: 令 X表示在夜晚同时开着的灯数目,则X 服从n=10000,
p=,这时E(X)=np=7000, D(X)=npq =2100 ,由切
贝雪夫不等式可得
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二、大数定律
即,对于任意ε>0,当n充分大时,不等式
定理1(切贝雪夫大数定律)如果X1,X2…,Xn,…是相互独立的
随机变量序列,每一个Xi都有数学期望E(Xi)和有限的方差D(Xi),
且方差有公共的上界,即
则对于任意ε>0,有
依概率1成立。
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证: 因
相互独立,所以
又因
,由切贝雪夫不等式可得
所以
切贝雪夫大数定律表明,相互独立的随机变量的算术平均值
与其数学期望的差,在n
充分大时以概率1是一个无穷小量.
这意味着在n充分大时,
的值将比较紧密地聚集在它的数学期望
附近.
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推论:设随机变量X1,X2,X3,…,Xn ,…独立同分布,且有
E(Xk) =μ,D(Xk) =σ2, k =1,2,…
说明:
(1)在不变的条件下,重复测量n次得到n个观察值,
x1,x2, …, xn,可看作服从同一分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn的试验值。
(2)n充分大时, x1,x2, …, xn的算术平均值与真值的误差依概率1任意小。
则在时对任意ε>0,有
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证明: 直接可由推论得出(略).
这就是以频率定义概率的合理性依据。
定理2(贝努里大数定律)设n重贝努里试验中事件A发生nA次,
每次试验事件A发生的概率p,则对任意ε>0 有
定义(依概率收敛)设
是一个互相独立的
随机变量序列,
a是一个常数,若对于任意正数,
有
则称序列
依概率收敛于a .
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