例循环群每个子群一定是循环群。证明设H是循环群G.ppt

例:循环群的每个子群一定是循环群。
证明:设H是循环群G的子群,a是G的生成元。
H
H,因H中每个元素都可以表示成a的幂次形式。
设ak是H中幂次最小的正整数。
对任意的al H,l=mk+r(0≤r≤k-1)
目标r=0
二、陪集
a,b关于模n同余当且仅当(a-b)被n整除。
定义:设[H;]是群[G;]的子群,对任意a,bG,a和b关于模H同余当且仅当ab-1H记为ab(mod H)。
:[G;]为群,HG,H为G的子群, 当且仅当,对任a,bH,有ab-1H。
定理:G上的关于模H同余关系是等价关系。
证明:自反
对称
传递
[a]={x|xG,且xa(mod H)}
={x|xG,且xa-1H}
={ha|hH}
以a为代表元的等价类实质上是a从右边乘H中的每个元素而得到的集合,
Ha
Ha={ha|hH},称为H在[G;]中的右陪集。
设[H;]是群[G;]的子群,aG,则
(1)bHa当且仅当ba-1H
(2)baH当且仅当a-1bH
:设[H;]为群[G;]的子群, 取G中一个固定元素g,用g与H中的每个元素进行乘法运算, 将其结果组成一个集合, 记为gH,即:gH={gh|hH}称它为H的左陪集,同理定义Hg={hg|hH}为H的右陪集。
例:[E;+]是群[Z;+]的子群,求它的所有右陪集。这里E表示偶数全体。
例:三次对称群S3={e,1, 2, 3, 4, 5}的所有非平凡子群是:
H1={e, 1}; H2={e, 2}; H3={e, 3}; H4={e, 4, 5}。其中H4就是三次交代群A3。现在考察H1的陪集。
e H1=1H1=H1; 2H1=5H1={2, 5}
3H1=4H1={3, 4};H1e =H11=H
H12=H14={2, 4};H13=H15={3, 5}
显然2H1H12, 5H1H15, 3H1H13, 4H1H14
这说明左、右陪集一般不等。
:如果HG是子群,那么任一gG所构成的陪集|gH|=|H|, |Hg|=|H|。
分析:证明基数相等的一种方法是证明两个集合之间存在双射.
证明:定义映射:HHg,
(h)=hg
利用群消去律证明是一对一的.
而满射是显然的,因为对任意的hgHg, 有(h)=hg.
:H为G的子群,g1,g2G,两个右陪集Hg1与Hg2,则: