不定积分的计算.doc

§ 不定积分的计算
一“凑”微分法
有一些不定积分,将积分变量进行一定的变换后就能有基本的积分公式求出所需的积分。
例:求。
例:求。
例:求。
注:为了求积分,把它凑成如下的形式,作代换,于是有,如果这个积分可在基本积分公式中查到为,再代回原来的变量,就求得积分。
二换元积分法
定理1 (换元积分法) 设连续,及皆为连续,的反函数存在且连续,并且
,
则
。
注:在换元积分法中是将被积函数的某一部分视为一个整体看作一个新的积分变量。
例:求。
例:求。
例:求。
使用换元积分法的关键:在于把被积表达式凑成形式,从而作变换,化积分为:。但要注意的是最后要换回原积分变量。
例:求。
三分部积分法
定理2(分部积分法) 若与可导,不定积分存在,则不定积分也存在,且
,
即
。
例:求。
例:求。
例:求和.
四有理函数积分法
定义:设和是两个多项式,凡形如
的函数称为有理函数。
重要结论:任何一个有理函数必定可以表示为若干个形如(称为简单分式):
(1) ; (2) ;
(3); (4)。
的简单分式之和,其中A,B,为常数,为正整数。
因此,对有理函数的积分只要讨论上述四种形式的积分即可。
(1) 。
(2) , 。
(3) ,令,并记,,则

。
同(3)可得,

。
记,则

=
,
于是,有递推公式
。
将这些结果代回,即可求得所求积分。
例:求。
例:求。
五其他类型的积分举例
1、形如的积分
只要令就可有理化。
例: 求。
例:求。
2、形如的积分
把积分分成两项
右边的积分即可求出,第二个积分配成完全平方,使成为
。
例:求。
3、形如的积分
把积分分成两项
右边的积分即可求出,第二个积分配成完全平方,使成为
或
的积分。
例:求
4、形如的积分
对于三角有理式的不定积分,一般通过变换(万能变换),可把它化为有理函数的积分:
;
; ;
故。
例:求。
注意:上述变换对三角有理式的不定积分总是有效的,但并不一定是最好的变换,在实际计算中要注意选择不同的变换。
例:求。
注意:初等函数的原函数不一定是初等函数,因此,在初等函数的范围内,某些初等函数的原函数是不存在的,即使该函数可积。
成本管理会计实****项目
(一)费用的归集与分配
1、【目的】练****直接材料费用的重量分配法
【资料】某厂大量生产的甲、乙、丙三种产品均由A材料构成其产品实体,本月三种产品共同耗用A材料400000元,三种产品的净重分别为4500千克、8500千克和7000千克。
【要求】采用重量分配法分配计算三种产品各应负担的A材料费用,完成A材料费用分配表(见表3-1)。
表 3-1 A材料费用分配表
****年***月单位:元
产品
产品净重(千克)
分配率
分配金额
甲产品
乙产品
丙产品
合计
2、【目的】练****直接材料费用的定额耗用量比例分配法
【资料】某厂生产A、B、C三种产品。本月三种产品共同耗用甲材料336000千克,,总金额为420000元。三种产品本月投产量分别为4000件、3200件和2400件,甲材料消耗定额分别为3千克、