不定积分的计算.ppt

不定积分的计算
问题
？
解决方法
利用复合函数求导的逆运算，设置中间变量.
过程
令
说明结果正确
一、第一换元积分法
对于形如
的积分，设
如果
连续，且
则
该积分法可由下面的逆运算证明
不定积分的计算
问题
？
解决方法
利用复合函数求导的逆运算，设置中间变量.
过程
令
说明结果正确
一、第一换元积分法
对于形如
的积分，设
如果
连续，且
则
该积分法可由下面的逆运算证明
这种积分方法也叫做“凑微分法”。
定理1
可导, 则有换元公式
设 f (u)具有原函数 F (u), u =  (x) 连续
如何应用上述公式来求不定积分?
则使用此公式的关键在于将
化为
的形式，
假设要求
所以，第一类换元积分法也称为凑微分法.
例1 求
解 u = 2x + 1, du=d(2x + 1) = 2dx, 则
想到公式
注意换回原变量
例2 求
解：
则
想到公式
这种换元法又称为凑微分法或配元法, 即引进一个新变量以代替原来的变量, 对于变量代换熟练以后, 可以不写出中间变量 u.
例1 求
解法二：
例3 求
一般地, 有
例4 求
类似
例5 求
一般地, 有
例6 求
解
说明:
当被积函数是三角函数(如正弦函数和余弦函数)相乘时，拆开奇次项去凑微分.
例7 求
例8 求
一般地, 有
例9 求
一般地, 有
第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可循．这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，例如
,
等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中拼凑出合适的微分因子．
例10 求
例11 求
例12 求
例13 求
例14 求
例15 求
解
类似可得
例16. 求
小结
积分常用技巧:
(1) 分项积分:
(2) 降低幂次:
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 凑微分法（陪元方法）
(4) 巧妙换元或配元。
利用积化和差; 分式分项等;
利用倍角公式 , 如
作业
P155 1 (1)--(18)
二、第二换元积分法
设
将积分 化为
若
则
若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。
例1 求
解
令
则
于是
例2 求
解
令
说明
当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数）
例3 求
解
令
三、分部积分法
由导数公式
积分得:
分部积分公式
或
分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积的不定积分问题的.
例1. 求
解: 令
则
原式 =
分析：被积函数 xlnx 是幂函数与对数函数的乘积, 采用分部积分.
例2 求积分
解（一）
令
显然， 选择不当，积分更难进行.
解（二）
令
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积, 采用分部积分.
(1) v要容易求出;
容易积出.
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择
一般来说， 选取的原则是：
解题技巧： 分部积分法求不定积分的关键是要确定u，由计算的经验，可以得出以下顺序：“反（反三角函数）、对（对数函数）、幂（幂函数）、指（指数函数）、三（三角函数）” ，当两种不同类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序在前的函数作为u.
即 把被积函数视为两个函数之积 , 按
“ 反对幂指三” 的顺序,
前者为 后者为
例3. 求
解: 令
, 则
原式 =
例4 求
解 设 u = arctanx, v′= x, 则
“ 反对幂指三”
前者为 后者为
例5 求
解 设 u = lnx, dv = dx, 则
“ 反对幂指三”
前者为 后者为
例6 求
设 u = x 2, , 则 du = 2xdx, v = -cosx,
于是
解：
例7 求
上式最后一项正好是所求积分, 移到等式左边然后除以2, 可知 e x sinx 的一个原函数为
说明:
分部积分题目的主要类型: