答案1-2章.doc

1-1-3、已知电位函数,试求E,并计算在(0,0,2)及(5,3,2)处的E值。
解
代入数据的
1-1-4、证明两等量而异号的长值平行线电荷场中的等位面是一组圆柱面。
解设等量异号长直平行线电荷和都与xoy平面垂直,且分别位于(d,0)和(-d,0),那么xoy平面内任一点P(x,y)的电位为

这里,已经取x=0平面为电位参考点
由上式可知,当
时,
为常数。故该式为等位线的方程式。平方并整理得

这是圆的方程。可见xoy平面上,等位线是一族圆心在x轴上的偏心圆,即等位面是一些偏心的圆柱面。
1-2-1、点电荷q放在无界均匀介质中的球形空腔中心,设介质的介电常数为,空腔半径为a,求空腔表面的极化电荷面密度。
解由高斯定律,介质中的电场强度为

由关系式,得电极化强度为
因此,空腔表面的极化电荷密度为
1-2-2、求下列情况下,真空中带电面之间的电压。
(1)、相距为a的两无限大平行板,电荷面密度分别为和;
(2)、无限长同轴圆柱面,半径为a和b(),每单位长度上电荷:内柱为而外柱为;
(3)、半径为R1和R2的两同心球面(),带有均匀分布的面积电荷,内外球面电荷总量分别为和。
解(1)因两无限大平行板间的电场强度为
所以电压
(2)因两圆柱面间的电场强度为
所以电压
(3)因两球面间的电场强度为
所以电压
1-4-3、写出下列静电场的边值问题。
(1)、电荷体密度分别为和,半径分别为a与b的双层同心带电球体。
解:选球坐标系,球心与原点重合,仅为关于的函数:Laplace方程
分界面衔接条件:,
,
边界条件:,
(2)、在两同心导体球壳间,左半部分和右半部分分别填充介电常数为和的均匀介质,内球壳带总电荷量为Q,外球壳接地。
选球坐标系,球心与原点重合。分析可知,电位仅为r的函数,故有如下的静电场边值问题:
(3)、半径分别为a和b的量无限长空心圆柱面导体,内圆柱表面上单位长度上的电量为,外圆柱面导体接地。
选圆柱坐标系,z轴与圆柱导体面的轴线重合,因圆柱导体无限长,故由对称性可知,电位仅为的函数,有如下的静电场边值问题:
1-5-1
解:边值问题为:
(在金属槽内) (1)
(2)
(3)
应用分离变量法,得满足方程(1)和边界条件(2)的解形式为

利用边界条件(3) 则有
比较系数,便得
()
所以最终得电位的解答是
1-7-1 解:在无限大导板下方的电场和电位都是0
无限大导板上方的电场可用镜像法求得,如图所示。上半空间中任何一点的电位和电场强度分别为

和
1-7-5 解:用电轴法求解,首先确定电轴的位置

如题1-7-5图所示,此时空间任意点的电位为
式中为至所求点的距离,式中为至所求点的距离,设圆柱的电位为,带圆柱的电位为
,则
所以,圆柱单位长度上的电荷与两圆柱的电压关系为
点A处场强和电荷面密度最大
点B处场强和电荷面密度最小
1-8-1 解:两小球和大地构成了3导体系统,假设大地离两小球很远且取他为0号导体,则有各小球的电位和电荷之间的下列关系式
(1)
其中,
且对于现在的问题有
容易确定出
方程组(1)也可以表示成另一种形式(2)
其中



因此,代入