Ch2 自回归移动平均模型.pdf

Ch2 自回归移动平均模型
徐剑刚
1
自回归移动平均模型
间序列是平稳的
z 时间序列分析方法是Box and Jenkins (1970)提出
的,该法不考虑以经济或金融理论为依据的解释
变量的作用,而是依据时间序列本身的变化规
律,利用外推机制来描述时间序列。
z 必须注意的是,建立时间序列模型的前提是:时
。
2
随机过程
z 由随机变量构成的一个有序序列称为随机过程,通常记
为{}()∈,,, ∈TtSstsx S是样本空间,T为序数集。
z 对于每个t (t∈T),x(•, t)是样本空间S中的一个随机变
量;
z 对于每个s(s∈S),x(s,•)是随机过程在序数集T中的一次实
现。一般将随机过程简称为过程,记为{xt}或xt 。
z 随机过程的一次观测结果称为时间序列,{xt, t∈T}用表
示。时间序列数据是所要研究变量的观测值按时间先后
顺序排列的一组数据。如果我们把1997年1月1日至2002
年12月31日间每个交易日收盘时的中信指数按时间先后
排列起来,得到了中信指数时间序列。
z 通常,分析的数据是等时间间隔的,从而是一个离散的
时间序列。
z 研究时间序列{xt}的目的,就是分析xt与其过去值{xt-1, xt-
,…}间的动态相关性。如果用线性模型分析,意味着x
2 3 t
与其过去值{xt-1, xt-2,…}存在着线性关系。
滞后算子
= xLx
z 滞后算子“L”是这样定义的 tt −1
z Lxt就是时间序列{xt}在第t-1时刻的值xt-1
p
z 一个滞后算子的多项式为 p i
φ L)( 10 " p LL 0 −=−−= ∑φφφφφφi L
i=1
z 其中,φ0=1,p是非负整数,为φ(L)的阶数。将φφφ(L)应用
p
于序列xt上,得
)( ttt −11 " −1 ttp −=−−= ∑φ xxxxxxL −iti
i=1
z 在时间序列分析中,该方程常用来分析xt与其过去值{xt-1,
xt-2,…}间的动态相关性。
4
滞后算子
z 假定c为常数,方程φ)( t = cxL
z 称为p阶差分方程。如果c=0,那么,方程就是一个齐次
方程。如果变量xt满足差分方程(),称为方程的一个
解。
φ)( = cxL
z 不同的φ(L)将描述xt的不同的动态行为,常用 t
z 差分方程来分析一个线性时间序列的动态结构。
5
平稳性
z 一个时间序列是随机变量按时间顺序排列的观测
值,在经济和金融的应用中,我们仅能得到的是
时间序列的一次实现,时间序列分析的目标就是
从观测到的一次实现来对过程进行推断,常用的
方法就是选择一个适当的模型来近似描述所研究
的过程。
z 选择一个适当的模型,就涉及到评价样本数据的
联合分布函数 21 " T = ≤ 11 " ≤ xXxXxxxF TT ),,Pr(),,(
z 其中,T是样本容量,xi是实数。通常{xt}是一个
观测序列。为了能更好地为时间序列构模,需要
限制联合分布。进一步,为了预测,还要说明过
程分布的一些关键性质,即时间不变性。
6
强平稳
z 在时间序列分析中,时间不变性是十分有用的,最常用
的就是平稳性。
z 如果一个平稳过程的性质不随时间起点的变化而变化,
也就是说,对于序数集T中的任何时间子集
( 21 ,..,, ttt n )
以及任何实数,
z k ( i + )∈= ,...2,1, niTkt
( ,... )= ( ,...xxFxxF )
1 tt n 1 + n +ktkt
z 称这个随机过程为强平稳过程。其中,F(•)表示n个随机
变量的联合分布函数,这意味着该平稳过程所有存在的
矩都不随时间的变化而变化。
x x
z 强平稳表明了t1 和1 +kt 的概率分布相同,
{ , xx }
tt 21 { , xx }
z 的联合分布和1 2 ++ 的联合分布相同,ktkt …,
{ ,, "xxx }的联合分布和的联合分布相
z 21 ttt n { ,, "xxx }
同。 21 ttt n
7
m阶平稳过程
z 强平稳的要求苛刻,因而引入较弱的条件
z 如果一个平稳过程m阶以下矩(包括m阶矩)的取
值与时间无关,称随机过程为m阶平稳过程。
x x
z 随机过程为m阶平稳过程并不要求t1 和1 +kt 的概
率分布相同,仅要求这两个分布的主要特征相
同,只要求相等到m阶矩。