56 用配方法化二次型成标准形.ppt

第六节用配方法化
二次型成标准形
一、拉格朗日配方法的具体步骤
二、小结思考题
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一、拉格朗日配方法的具体步骤
用正交变换化二次型为标准形,其特点是保
持几何形状不变.
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有
效的方法——拉格朗日配方法.
有没有其它方法,也可以把
二次型化为标准形?
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1. 若二次型含有的平方项,则先把含有
的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同
样进行,直到都配成平方项为止,经过非退化线
性变换,就得到标准形;
拉格朗日配方法的步骤
2. 若二次型中不含有平方项,但是
则先作可逆线性变换
化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方
法配方.
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解
例1
含有平方项
去掉配方后多出来的项
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所用变换矩阵为
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解
例2
由于所给二次型中无平方项,所以
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再配方,得
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所用变换矩阵为
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二、小结
将一个二次型化为标准形,可以用正交变换
法,也可以用拉格朗日配方法,或者其它方法,

阵,无疑应使用正交变换法;如果只需要找出一
个可逆的线性变换,那么各种方法都可以使用.
正交变换法的好处是有固定的步骤,可以按部就
班一步一步地求解,但计算量通常较大;如果二
次型中变量个数较少,使用拉格朗日配方法反而
,使用不同的方法,所
得到的标准形可能不相同,但标准形中含有的项
数必定相同,项数等于所给二次型的秩.
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