高等代数教案.doc

第一章多项式
关键知识点:最大公因式,互素,不可约多项式,重因式(重根),本原多项式,对称多项式;最大公因式存在性定理(定理2,P13),因式分解及唯一性定理(P20),高斯引理(定理10,P30),艾森斯坦因判别定理(定理13,P33),对称多项式基本定理(定理15).
设的最大公因式是一个二次多项式,求的值.
详解作辗转相除得如下关系式:
,
其中
,,
(注:?).
为使最大公因式是二次,必须:,解得.
证明:,(的首项系数等于1).
略证,又设,
则.
证明:若,则.
提示(相乘所得).
设,求证:
.
详证先证
.
,
设,,由归纳假设,则
,
,则成立.
同理,.
最后,对于,仍用最先所证方法即得要证问题.
或提示反证,设,存在不可约多项式
,推出矛盾.
证明:若,则.
提示证.
问题?().
求多项式有重根的条件.
详解,由于是一个三次多项式,那么
有重根有重因式.
作辗转相除得:
,
其中
,,,.
上述运算中,若,则必须(否则),若,可运算到最后,为使,必须,即.
总之,必须.
证明:不能有重根.
略证反证,设有重根为,
矛盾.
问题
(1)是否有重根?
(2)(素数)在上是否不可约?(利用艾
森斯坦因判别定理).
若是的一个重根,证明:是的一个重根,其中.
略证,
,,
则有重根,设重数为重根,又由题设,
则重根,则,.
问题重根重根?
证明:是的重根,
而.
略证由定理6推论1(P23).
,则为的重根,设重数为,则为
的重根(由什么保证?),又由条件,为的0重根, 所
以,即.
证明:如果,那么,
.
详证设是的一根(三次单位根),
,
并且
,
那么
,
则
,,
即
,,
所以
,即,.
问题
(1)
?
(2)?(为非负整数).
提示利用4(或3)次单位根讨论.
判定多项式(奇素数)在有理数域上是否
可约?
略解作变换(存在逆变换),则

,
又(为什么?素数),利用艾森斯坦因判别法即可.
求多项式的有理根.
详解设其有理根为,则,那么可能的有理根为-1,1,-3,
-1
1 1 -6 -14 -11 -3
-1
1 0 -6 -8 -3 ( 0
-1
1 -1 -5 -3 ( 0
-1
1 -2 -3 ( 0
1 -3 ( 0
则知的有理根为-1(4重),3.
问题试在上分解多项式.
用初等对称多项式表示如下对称多项式:
.
详解是3元6次齐次对称多项式,首项为,利用基本定理的作
法,则中间产生的序列其首项相应的数组有(4,1,1),(3,3,0),(3,2,1),
(2,2,2).那么的首项只有
,,,,,
可设
.
取为1,1,0,代入上式,解得=-4,取为2,-1,-1,代入上式
解得=-27, 取为2,2,-1,代入上式,解得=-4,取为
1,1,1,代入上式,解得=
.
第二章行列式
关键知识点:逆序数,行列式的定义,矩阵及其初等行变换,元素的余
子式及代数余子式,子式的余子式及代数余子式;行列式的基本运算性质,
行列式的行(列)展开性质(定理3,P78),克兰姆法则;利用运算性质化三角
形法,利用展开性质降(升)阶法,归纳与递归法等.
设排列的逆序数为,问排列的逆序数
是多少?
略证在原排列和倒排列中,任意两个元素
之间均存在唯一一个逆序,因此二者的逆序数之和必为,
则所求的逆序数为.
由行列式定义计算
中的系数,并说明理由.
详解由行列式定义,中的一般乘积项可设为,
只有当二三四行中所取的元素恰好有两个含时,上述乘积项才可能
产生出的项,所以排列可能为4231,3214,2134三种,这三种
中只有第三种才真正出现的项,所以相应的项为,
则系数为-1.
由
证明:奇偶排列各半.
详证由级行列式的定义,则
,其中当排列为奇排列时,被加项为-1,当排列
为偶排列时,被加项为+1,而,所以在所有的级排列中,奇
排列偶排列各占一半.
注也可以用“对换改变排列的奇偶性”来证明:在所有的级排列中,
奇排列偶排列各占一半.
设
,
其中是互不相同的数.
1)由行列式的定义,说明是一个次多项式.
2)由行列式的性质,求出的